作为射频工程师的我，花了很大的力气，才理解了一丢丢downsample的概念
01为什么我会接触到downsampling的概念？
最近不是一直在搞DF仿真么？DF呢，全称为dataflow，即数据流仿真。
因为仿真链路中有ADC，为了配合ADC的采样率，所以链路中需要加upsample，有时候还需要加downsample。
课程中的设计，正好是过采样，也就是说fs>2*fc，所以不用加downsample；但是虽说课程中用不着，但总是也要考虑一下欠采样该怎样设置。
SystemVue中的ADC的模型，考虑了SNR，SFDR等量化指标，但是自身仿真不出欠采样时的混叠特性，所以如果要仿真欠采样的话，需要在ADC后面，再加一个downsample模型。
这种设置，虽然没有在SystemVue的例子中见过(也有可能是我没有找到)，但是在ADS的例子中有一点端倪，再加上号友的权威建议，以及实际的验证，应该是可行的。
02仿真软件中的对应模型是怎么样的？
在SystemVue仿真软件中，应用于抽取(downsample)的模型有三种，名称分别为DownSample，DownSampleEnv和DownSampleVarPhase，如下图所示。
SystemVue中模型的输入输出线的粗细，以及颜色都代表了不同的数据类型，如下图所示。
所以，上面的模型中，DownSampleEnv只可以处理Envelope Signal，而另外两种，则是所有的都能处理；也就是说，另外两种可以替代DownSampleEnv，但是可能需要外接抗混叠滤波器，因为DownSampleEnv里面集成了，不过设置为可选项。
在三个模型中，都有phase的选项，即选取哪个采样点，作为抽取的开始点。这也比较容易从时域上理解，假设抽取率为3，那原始信号有3个点可以选用，这个选项就是设置是选哪一个。
DownSampleVarPhase模型，还专门把phase项设置在外面，如下图所示，就像VGA一样，不知道使用场景是在哪里。
03DownSample都在干什么？
模型的help文件中，是这样说的。
大概的意思是，downsample是用来降低输入信号的采样率的，假设需要降N倍，那么输入端每输入N个样本，输出端输出一个样本，也就是N取1。
04DownSample以后，那携带的信息会有变化么？
先说一下答案，如果信号的频率限制在一定带宽里面的话，就能完全还原，也就是说，如果没有产生混叠的话，就能完全还原。
那为啥呢？如果光想想，就觉得这咋可能呢？
这个就如同用ADC把模拟信号采样成数字信号一样，它是把N个数字信号采样成1个数字信号。明明连续的，变成了断断续续的；或者有N个数字信号，变成了1个，然后告诉我说，别看数据少了，还是能还原出原来的信号， 总是有一点反直觉。
不过，这也确确实实是真的。
今天在写文章之前的这段时间，我最主要是在看文献[2]的4.6节中的4.6.1节 Sampling Rate Reduction by an Integer Factor。
说实话，看的是云里雾里，看不懂的时候，真的是心烦气躁。
老大闺女在我旁边，一会儿问我这个字怎么写，一会儿问我能不能尝尝咖啡，一会问我这个水能不能泡咖啡，一会问我800ml是多少，80ml又是多少。
本来已经看东西看的心烦气躁了，再加上耳朵边时不时传来问句，那感觉就像明明电脑的CPU已经100%运行了，但是还非得再运行点啥，特别想崩。
好在，当我开始写这篇文章的时候，心态慢慢地就变平和了。然后再想想刚才看到的那些内容，好像有那么一点点的理解了。
05先讲讲射频工程师们较为熟悉的采样定理。
射频工程师的工作在慢慢往后扩，开始需要了解ADC。
而ADC的工作原理，就是基于采样定理。
虽然实际采样的时候，可能用的是Sampling and Hold，如下图所示。
但是，把采样信号看成一系列冲激函数，则有助于理解概念。
整幅图一下子看起来，会让人很烦躁，不过试着按图中标注的顺序来看一下，就会好很多。
①是一个待采样的信号，变量是t，也就是连续时间函数；②是一个冲激序列的表达式；③则是待采样信号与冲激序列相乘，以及利用冲激函数的特性进行一系列的运算；④则是待采样的信号与采样后的信号的图形表示；⑤则是把④中的信号变成无时间概念的序列后的图形表示。
在④中,Xs(t)本质上还是一个连续时间函数，只不过在t=nT上有值，其他地方都为0，这是数学上的一种抽象；在⑤中，才是我们实际中使用的，是一个序列。
不过，今天的文章，就止步于④，主要原因是因为从④到⑤的分析，需要用到DTFT，而我对这个，已经忘了，或者说在学校就没学明白，这个我后面再补起来。
好在，止步于④，对于概念的理解，应该是够了。
下面从频域来理解一下采样的过程。
①是冲激序列的时域和频域表达；②是采样后信号的时域和频域表达；③是假设Xc(t)是带限信号时的频谱，(c)表示发生没有混叠，(d)表示发生混叠。
06再延伸一下，理解downsample
在文献[2]中，正式推导downsample的频谱，是基于DTFT来推导的，前面说过，我已经把DTFT给忘了，所以我换一种方式来理解。
就如文献[2]中所讲的，
虽然，这种方式，不是实际采用的实现方式，但是用来理解概念，个人觉得应该问题不大。也就是说，都从待采样信号Xc(t)出发，分别用Ωs和Ωs/N的采样率，对Xc(t)进行采样，来理解downsample的概念。
为了更具象一点，假设downsample的factor是N=4，也就是从N=4个样本里取出1个样本，即用Ωs/N的采样率来对Xc(t)进行采样；然后再用Ωs的采样率对Xc(t)进行采样，感受一下频谱的差别。
看了上面的图，应该就能回答为什么downsample后，还是能还原出原始的信号的问题了。
如果待采样信号Xc(t)满足2ΩN≤Ωs/N，那么在从图可以看出来，不管采样率Ωs还是Ωs/4(即downsample的因子是4)，在[-ΩN,ΩN]之间的频谱并没有改变，所以在经过低通滤波以后，都仍然是原始的信号。
参考文献：
[1] SystemVue的help
[2] ALAN v. OPPENHEIM，RONALD w. SCHAFER，DISCRETE-TIME SIGNAL PROCESSING
[3] Qizheng Gu，RF SYSTEM DESIGN OF TRANSCEIVERS FOR WIRELESS COMMUNICATIONS
