工程用教材汇编（一）：微积分

 工程中解决问题的能力主要依靠经验以及高人指点，常常知其然而不知其所以然。虽然绝大部分情况中，知其然已经足够了，但掌握一些理论知识并不会让事情变得更坏。最大的问题往往出现在大学毕业、工作多年之后，理论知识已经忘得一干二净，即使有心看一些理论教材，从入门到放弃也一般不超过10页。我感觉，主要原因是选择的教材有问题。如果背单词一开始就选用牛津字典，那显然没有人能坚持背到第二页，但如果选高中教材，我想大部分人至少可以囫囵吞枣地消化一些新的知识。所以我这里记录并推荐一些相关教材，相信可以让绝大部分人或多或少有所受益。我的选择原则有：

1、目的是解决工程问题。纯粹理论且对后续学习没任何工程方面的帮助的不在此范围；

2、入门级。说白了就是高中生都能看懂。因为我进行过测试，我就是零基础，我能看懂；

3、不做学术研究。博士级别的没有，都是给本科和硕士看的，目的是看懂学术研究，不是做学术研究；

4、得有高中英语基础。初中及以下的需要学习高中英语，掌握高考3500词汇，随便买一本高考词汇书就解决问题；

5、主要是航空制造业工程类相关，其他行业的不了解。

工程类相关教材，最基础的是数学，但很多人往往对数学望而却步，觉得自己没数学天赋，学不会。如果你想比肩高斯、牛顿、欧拉这样的人，那确实没天赋。如果只是想看懂一些工程资料和文献，那只要读过高中，都可以通过选用合适的教材实现。我一开始就提出了，错误教材的选择确实让人觉得自己是不是不适合，但不要这么认为，高斯看谁都是小学生，跟我们没关系。本文作为第一篇，先介绍最基础的微积分。

1、Thomas’ Calculus，中文：托马斯微积分。不用管什么版本的，随便哪个版本的从第一页开始读到最后一页就完事儿了。基本上绝大部分工程资料上用的微积分知识都可以在本书中找到，读完后可以将此书作为工具书。只要有高中数学的基础就可以阅读。本书的特点是非常直观，图表非常多，对于初学者来说，尤其是类似梯度、偏微分、拉格朗日常数法、极坐标等基本概念都有清晰的图示，可以将微积分与解析几何联系在一起，更容易掌握。最后两章还有初步的微分方程的知识，对于一般的常微分方程也可以有一定的了解。只不过篇幅较长，1000多页，但课后习题以及习题解答都非常详细，可以指哪儿打哪儿。

2、Div, Grad, Curl, and All That An Informal Text on Vector Calculus，H. M. Schey。紧跟着Thomas’ Calculus的最后几章，此书主要围绕向量分析做了进一步介绍。这本书特点是从头至尾以电磁学为案例进行向量微积分教学，等于这本书看完了也同时把电磁学基础部分学完了，一举两得。而且梯度、旋度、散度、拉普拉斯方程等概念在几乎所有物理领域都有用到；

3、Calculus of Several Variables, Serge Lang。内容相比Thomas’ Calculus有一定的提升，但不多，总体来说还是属于初级微积分的水平，有些地方用到了线性代数，在没学线性代数之前可以不看，影响不大。本书主要集中在多元微积分的部分，因为实际上的物理方程基本都是三维的，最少也是二维，一维的单元方程一般都是用来给三维讲方法过度用的，所以可以用来提高多重微积分的基础知识；

4、Advanced Calculus, Buck。高等微积分其实已经是数学分析的范畴了。工程上如果不是做研究，不需要太深奥的分析方面的知识。但之所以要看高等微积分或者一些分析方面的教材，主要原因是工程上有些数值算法涉及到结果收敛和误差分析的地方，而且力学教材经常有用到无穷小的分析方法。这本高等微积分是非常好的教材，如果不想花太多时间，看这一本就够了。但这里面有个问题，就是因为高等微积分不仅仅是初等微积分的进阶，而是涉及到分析，所以不可避免地需要用到一些外围的知识，虽然本书的第一部分就是介绍这些知识，但如果没有任何基础，看起来还是有些吃力，而且过程很简略。这里介绍一些相关基础知识的教材，但同样的，只涵盖够用、工程、入门级的相关内容：

4.1 Set Theory，看一本就够了，Naïve Set Theory, Paul R. Halmos，中文叫《朴素Set Theory》，很薄，估计几天就看完了。Set Theory相当深奥，但本书主要就是讲公理Set Theory的入门知识，只要看到实数的部分就基本够了；

4.2 实分析，看一本就够了，《陶哲轩实分析》，只看测度前面的部分就可以了。看实分析对于理解极限的概念是非常有用的；

4.3 拓扑学，看一本就够了，Introduction to Topology Pure and Applied, Colin Adams。甚至不用看一本，就看前七章，看完紧致空间就行了。更有名的Munkres的对于只需要皮毛的初学者不友好。因为一致积分用到了紧致空间的概念，但此概念对于初学者及其不友好，很难理解，但看完本教材，至少可以在脑子里有足够的概念；

掌握以上内容就可以了，足够看高等微积分了。

5、Advanced Calculus, Kaplan。有中文版，里面有需要线性代数的部分。

6、Advanced Calculus A Geometric View, James J. Callahan。有一定难度，但是角度很独特，是值得一看的教材。

以上教材学习微积分已经够了，绝大部分工程类需要的微积分知识都涵盖了，即使有个别专题不是很详细，也都能到相关教材的对应专题中找到推荐的其他书籍。对于微积分一窍不通的初学者，只要按顺序看，都能掌握全部的内容。另外在后续学习的过程中，会遇到一些特别的函数和微积分的方法，可以另外参考其他相关书籍的部分章节即可，不需要每一本都看完。

下一篇介绍线性代数。