LLC电路DC特性修正方程探讨(1)

在设计LLC电路时多数会采用基波分析法（FHA），按这种方法绘制的DC特性曲线如下：

                              图1-1 基于FHA的DC特性曲线

而实际电路中当开关频率偏离谐振频率时这种基波分析法 会产生偏差，见下图的Ti理论与实测对比。

                         图1-2 FHA曲线与实测点对比

这里准备采用求解时域方程的方法来获取较准确的DC特性曲线，并试图为FHA方法找出一个修正函数以简化时域方程计算。

先假设电路为闭环控制既输出电压恒定再根据不同工况反推输入电压，这样可以先确定励磁电感Lm的电流。

一、Fs=Fr谐振状态：

谐振状态时励磁电感电流波形及方程表述如下：

图1-3 励磁电流方程及波形

谐振状态时漏感电流波形及方程表述如下：

                           图1-4 漏感电流及波形

上述方程中正弦波的峰值A0是未知的，可以通过输出功率或输出电流反推出来，输出二极管电流波形为漏感电流和励磁电流之差，如下：

                            图1-5 输出二极管电流波形

利用积分公式求出上述电流波形的平均值既为输出电流Io=Uo/Ro，实际计算过程是反推由输出电流Io求正弦峰值电流A0。

在图1-5中求输出电流Io时用到了积分方程，可否利用三角函数的积分公式直接把这里的积分运算化简掉？

经验证幅值A0的正弦波在时间段0-t间的均值表达式为：

这样就可以利用用几何方法求解图1-4中的平均输出电流避免使用积分运算。

                  图1-6 谐振状态下利用几何方法求解输出平均电流

设Lm=240uF，Lr=48uF，Cr=29nF，Vin=400V，Vout=200V，n=1:1:1，Ro分别取100Ω、150Ω、300Ω，Saber的仿真结果和Match计算结果对比如下：

                    图1-7 谐振状态仿真与计算电流波形对比

谐振状态时DC增益恒等于1不需专门求解，简化积分运算后可以大大提高运算速度。

对谐振电流进行积分可以得到谐振电容上的电压波形，参考上面的方法也可以进行简化处理。

                           图1-8 谐振电容电压波形

二、Fs<Fr升压状态：

                        图2-1 Fs<Fr电流波形1

如上图可以先从假设篮圈中的电流是平直的来开始推导，后面再做迭代运算以逼近真实波形，或者先假设一个斜率再从后面反推出这个斜率。

这里准备尝试另外一种方法，篮圈中的曲线其实是周期为2*pi*√Cr*(Lm+Lr)正弦波的一部分，如果能将这几段正弦曲线完美拼接起来（电感电流+电容电压波形），那么相关的参数就是所需的解。

设Vin=330V，Vout=200V，Ro=142.86，fs=100kHz，fr=135kHz来验证曲线的组合拼接效果如下：

                         图2-2 曲线组合拼接验证

上图曲线中包含了谐振电流、励磁电流和谐振电容电压波形，通过仿真和计算对比可以证明采用正弦曲线拼接的方法是比较准确的，不过目前涉及的参数过多还未找到足够的方程来进行正向推导。

在推导过程遇到了不少问题（主要是运算速度的问题），还有最后一个方程有待验证，推导过程如下：

步奏1

先设置一个起点电流Im0_u和谐振电流幅值A0_u，可以绘制出在时间0.5Tr附近前的波形（两条曲线的交点不等于0.5Tr），见下图。

                 图2-3-1 时间0~0.512Tr段漏感电流与励磁电流波形

利用root工具可以求解出两条曲线的相交时间及相交电流。在前面提到为了提高运算速度特将积分运算都转换成三角函数运算，这里当root工具调用次数过多时也会影响运算速度，因而如果能将方程整理出来效果会更好。

步奏2

对阴影区域积分获取输出电流函数并增加输出电流等于Uo/Ro这一约束条件。

                    图2-3-2等输出电流曲线

从上图看满足输出电流恒定的曲线有很多，因而还需其它约束条件（方程）。

非积分形式的输出电流推导如下：

                       图2-3-3 输出电流原始推导公式

步奏3

设一条谐振曲线同时穿过(t1,Im1)和(0.5Ts,Im0)两个点，列方程组求出其表达式及波形如下：

                           图2-3-4t1~0.5Ts时间段电流波形

当负载很重的时候，在此区间谐振电流和励磁电流会分离开需要另做分析。

步奏4

在之前的分析中Im0是预先设置的，这里可以利用谐振电容的波形来最终确定这个Im0。同样将积分方程转化成三角函数推导方程及波形如下：

                      图2-3-5 谐振电容波形及公式

当满足曲线Vsc_01和曲线Vsc_02在t1时刻相切时即可确定预设的Im0值，从而解出整个方程组。

上述步奏4中曲线相切的方法作为约束条件行不通，经验证在t1时刻无论Im0取何值两条曲线都是相切的，目前仍缺少一个约束条件。

参考仿真波形中的Im0进行设置并获得如下对比曲线：

                   图2-3-6 等Q值不同开关频率下的波形对比

通过波形对比可知计算公式是准确的，如果能确定Im0电流那么输出/输入的DC增益也就可以确定了。

步奏5

根据输入、输出能量守恒来确认参数Im0，由于匝比设置为1:1所以输入电流和谐振腔电流波形一样，见下图：

                               图2-3-7 输入电流

有一点区别就输入电流只占1/2周期，因而在计算时输入电压都是按1/2Vin来的。

根据能量守恒Uo*Io=0.5*Uin*Iin（Iin≠Io差个Im）推出Uin=2*Uo*Io/Iin，再参照下图的谐振电容波形，

                    图2-3-8 谐振电容“升压”值

参照上图输入电压Uin=2*Uo-△U，当满足两个Uin相等时可解出参数Im0。

对方程进行验证：

              图2-4-1 fs=100kHz，Ro=142.86，Gdc=1.201

输出200V，负载Ro=142.86，谐振频率fr=135kHz，开关频率fs=100kHz，计算出输入电压333V，直流增益1.2。

                图2-4-2 fs=80kHz，Ro=142.86，Gdc=1.583

输出200V，负载Ro=142.86，谐振频率fr=135kHz，开关频率fs=80kHz，计算出输入电压253V，直流增益1.583。

上面的参数是根据Ti资料中的参数设置的，再对比一下Ti的实测值：

                      图2-4-3 Ti实测增益值

在100kHz和80kHz处计算值同实测值几乎一样，在其它条件下用Saber仿真软件进行验证得出的结果也基本是准确的。

三、Fs>Fr降压状态：

                         图3-1 fs>fr降压模式电流波形对比

fs>fr区域可以采用与之前相似的分析方法，下面就准备逐步展开分析。

也绘制两个相交的正弦波如下：

                          图3-2 两个相交的正弦波

与fs<fr升压模式不同，这里的两个正弦波是同周期的（频率同为fr），接下来就是确定交点时间t01及各种的相位和幅值。

                         图3-3 励磁电流波形及相关方程

fs>fr情况时励磁电流的峰值和周期（Ts）可以直接计算出来既图中的Im1_d，相移跟时间t01有关。时间t01和正弦波Ir02_d的幅值、初始电流Im0_d、开关周期及谐振周期有关……，根据图中右侧公式可以将曲线绘制出来，方程经整理后最终只有初始电流Im0_d和谐振电流峰值需要设置。

输出平均电流的计算经整理得到如下方程：

                          图3-4 输出平均电流方程

根据Io_d=Vor/Ro可以得出谐振电流峰值表达式，再列出谐振电容电压方程如下：

                        图3-5 谐振电容电压公式及波形

最后根据输入、输出能量守恒解出整个方程组。

仿真和计算验证如下：

                       图3-6 fs=200kHz仿真、计算对比

                       图3-7 fs=166.66kHz仿真、计算对比

上面两个波形的验证也同Ti的实测结果进行了对比，仿真值和计算值比较接近，同实测值略有差异，估计是没考虑实际效率因素造成的。