在解决实际问题的过程中发挥数学专长

这是几年前写的一点东西。我在中国工业与应用数学学会常务理事会上有个发言。发言结束后，几位老院士让我把发言内容，写下来发在学会的通讯上。后来，高等教育出版社又约我在长沙的会议上，给大约600名高校数学老师讲了40分钟。一转眼，我从40岁上下变成了50岁的人。

用数学家的标准来衡量，实际应用中遇到的数学问题通常都比较简单。但是，这并不意味着数学家的专业特长无用武之地，因为让简单的数学方法产生好的实用效果并不简单。要克服数学应用中的实际困难、发挥专业特长，关键是要深入掌握相关的领域知识。

1、应用数学的方式

多数从事应用数学研究的学者，乐于针对实际问题发挥自己的特长。但遗憾的是：许多人毕生都无法实现自己的愿望。客观地看，造成这种现象的主要原因并不在专业能力，而是没有找到发挥作用的机会。所以，要发挥数学的专业特长，首先要清楚在哪里更容易找到机会。机会的多寡和应用的方式有关。方式不同，机会和作用就不一样。

一般来讲，发明模型的机会远远少于应用经典模型的机会。数学家都希望从事创新性强的研究工作。希望自己建立全新的模型而不愿在已有模型的基础上做后继工作。事实上，真正的新问题很少，建立原创模型的机会也就不会多，在相对落后的发展中国家尤其如此。因此，大多数的实际工作是对传统模型进行补充、简化、修正及求解。特别地，由于实际问题都附带一定的特性，创新性更多地体现在满足个性化的需求上，不可过度强调通用性。

对实际问题了解得越深，机会就越多。这是因为：容易搞清楚的问题，别人同样也容易搞清楚。而容易搞清楚的人越多，个人的机会就越少。所以，数学家要在实际工作中发挥作用，必须深入实际而不是浅尝则止。

2、实际应用的难点

在实际应用过程中，要全面考虑精度、适用范围、求解的可行性以及相关的可靠性，才能得到好的模型。也就是说，人们对模型的需求是综合性而不是单方面的。

 不熟悉应用背景的数学家，往往片面强调模型的正确性。但是，模型正确不等于模型实用。其中原因之一是：使用模型时往往缺少必要的、足够准确的模型参数。例如，热传导方程是钢铁冶金领域中使用的经典模型之一，其正确性是公认的。但是，人们在使用时很难准确地给出边界条件、热传导系数、比热等参数。于是，为了达到更高的精度，冶金过程的许多传热问题就不用热传导方程描述。

事实上，任何实际问题几乎都是多元、非线性、不确定系统，不经简化的“正确”模型几乎无法求解，实际应用时必须进行变通。严格地说，多数变通方法是“错误”的。

另外，单纯精度高的模型也未必实用，具体应用时还需考虑适用范围、计算复杂度等。需要指出的是：模型精度和适用范围之间没有必然联系。事实上，当模型输入存在显著误差时，适用范围大的模型精度可能会更低，反之亦然。

 “可靠性” 往往是最难达到的目标。可靠性是个综合的概念。精度不稳定、适用范围过小或不确定、解的存在性以及求解代价的不确定都属于不可靠的范畴。特别地，模型不稳定的原因可能来自外部因素，如输入数据的错误、延迟、缺失、波动等。

 实用的模型要求可靠，可靠的模型要求简单。简单模型便于计算、便于分析、便于验证。当然，简单模型的精度往往不高。为此，一般的做法是通过增加修正项。可见，实用的模型往往是简单与复杂的统一体：模型架构简单，修正体系复杂。所以，实际使用的模型可能结构简单，但要用好却并非易事。

3、数学家的特长

 数学家的特长在于思维上逻辑严密。在对问题充分了解的前提下，数学家能够比其它专业的学者更容易认识到问题的本质，更容易发现现有模型的问题及适用条件的变化。

建模的难点首先是对实际问题的适度简化，而适度简化的关键是要抓住问题的本质。数学基础好的人在简化问题时的胆子会更大一些，能够采用的技巧也更多。

 模型结构确定之后，难点转移到寻找合适的修正方法。数学功底不好的人，往往忽视数学方法的适用条件，盲目地使用数学公式。其结果是模型修订项互相矛盾、降低了可靠度。数学家比较擅长发现模型的潜在问题，并找到合适的方法加以修订。

4、数学家的缺点

在沟通实际问题时，部分数学家往往有两种不恰当的表现：还没等用户把问题讲完就急于告诉人家“我明白了”；抱怨用户没把问题讲清楚。之所以有上述表现，是因为有些数学家过于相信自己的专业能力，只看到了实际问题简单的一面，而不能看到复杂的一面。

几乎所有实际问题都需要非常复杂的模型才能精确描述，过快地表示“明白了”，往往说明并未意识到问题的复杂性。

简化后的问题可能很简单，但简化过程本身并不简单。所以，我们很难指望别人把问题完全描述清楚——如果问题能够清晰地描述，简化工作也就差不多了。合适的简化，必须充分考虑用户的需求、具体的条件，这需要具备多方面的领域知识。所以，了解实际问题往往需要与用户进行长时间的沟通。

5、工作体会

华罗庚、苏步青先生为我国的应用数学事业做出了重大贡献，但时代已经过去了几十年，我们面对的问题很当年差别很大。其中，最大的差别是：我们主要的服务对象不再是文化程度很低的工人，而是具有本科以上学历的工程技术人员。特别地，如果他们的问题是行业内普遍存在、长期不能解决的问题，相关的研究就会很多、研究者的层次就会很高——如果这些研究者未曾取得成功，问题就一定是很难的。故而经常有人感叹：“能做的事情别人都做了，剩下的都是不能做的”。

实际问题的困难之大，往往超出人们的预想。而且，困难不仅仅体现在数学上。只有在充分掌握相关领域的知识之后，数学特长才有发挥的基础，否则，就会“输在起跑线上”。

相比而言，国外工程技术人员的业务水平比我国要高，将实际问题提炼为数学问题的能力更强。国内技术人员提炼问题的能力相对较差，往往需要数学家自己提炼问题。如果把现实中的数学问题比作“足球”，则解决问题就是“进球”；如果把数学家比作球队的“前锋”，企业的技术人员就应该是球队的“中场”。我们的“中场”无法把好球传过来，“前锋”就只能自己去“抢球”。同样，要解决实际问题，我国的数学家需要花更多的时间去掌握领域知识。

按照个人的体会，要深入理解相关领域知识，大约要经历2~3年左右的时间。否则，难以与服务对象进行深入、有效的沟通。在此基础上，对用户需求进行变通，将“无法完成”的事情转化为“可以完成”的事情，从而取得应用上的成功。

6、建议

理论数学衡量工作质量的标准包括：新颖、美感、技巧、影响力等。但是，解决实际问题时，简单、经典、个性化的方法往往更有效；应用效果和理论水平往往互相矛盾，不可得兼。这意味着，用理论数学的价值观衡量应用数学，势必抑制应用数学、尤其是问题驱动的应用数学的发展。这一点，需要大家共同呼吁才能改变。我们希望有关部门能够有针对性地制定评价标准；同时，在偏见确实存在的前提下，还需要应用数学家具有奉献精神。