背景
线性计算是处理许多问题最简便的方法,有些情况下选择忽略非线性而建立简化的线性模型,会大大方便我们的分析过程。然而,何时可以安全高效地忽略非线性一直是一个备受关注的问题。
在使用线性静态分析时(不讨论动态问题),“线性”意味着在问题分析中省略了一些关键的因素,所以一般会考虑以下方面来权衡利弊:
材料:大多数工程师在被问及什么是非线性时会自动考虑材料非线性,因为有许多不同的材料模型可用,需要繁杂的设置,何时能忽略这些设置是非常关键的问题。
几何:几何非线性可以在分析中帮助进行屈曲设计或二阶效应。但定义几何非线性同样需要较长的时间,求解的时间也会加长。因此,对于几何非线性的忽略问题也备受关注。
接触:一般而言,接触的定义一直十分棘手。如何确定接触是否始终是非线性的,或者也可以是线性的是非常复杂的问题。对于不同的情况会进行不同的定义,所以一般会尽可能地去认为接触是线性的,而忽略非线性。
何时忽略几何非线性?
要解决如此复杂的问题,首先需要知道几何非线性的原理。几何非线性的定义十分微妙,这里不做理论上的赘述,简单一点的理解方法就是比较不同设置下的运行结果,例如进行线性屈曲分析。
通常,当材料受非线性几何(大变形)影响时,会具有较小的弯曲刚度。分析模型中的单元刚性达到承受负载极限时,求解器会重新定义单元承载载荷的“形式”,这种效应便会导致线性屈曲分析(LBA)中的特征值减小。
如果需要具体数值的话,当模型的特征值小于一定值比如10时,就需要谨慎地去权衡能否忽略几何非线性,如果使用塑料材料,特征值的最低值则应该高于15。
LBA分析示例
如图一个简单的钢桁架。
对于短构件,其极限承载力比理想值低2 - 2.5倍(由于缺陷等)。这意味着会得到一个大约为2.0- 2.5的特征值。
这并不意味着桁架容易发生大变形,因为在进行线性计算时发现,最大变形为64.4mm。
然后进行几何非线性分析,最大变形为67.8mm。
对比发现,得到了100个低于5.4的特征值,远远低于推荐10(最低为2.01),这表明非线性几何在模型中的影响显著,但因为非线性的几何形状,应变和应力增加了约5%。
以上是几何非线性的普遍问题,所以需要大量的工程实践经验才能发现何时可以忽略非线性。以防万一,一般会有限元分析优先使用几何非线性计算。当使用LBA进行测试时,检查FEA求解器是否包含称为“第7自由度”的翘曲扭转,如果没有 LBA将无法在梁模型中找到横向扭曲屈曲,也只能在在板材/外壳/实体模型中工作。
检查变形
另一个方法是检查满足最大变形的制件标准。通常,这些标准提供材料允许的最大变形,用单元的长度除以一定值(如L / 250)表示。对于悬臂,在进行检查时允许的变形量是两倍。
检查步骤:
如果是一般单元,以L / 200的最大变形作为标准;
如果这是较薄单元,以L / 150为标准(有时也可以L / 200);
对于刚度较大的元件,使用L / 350为标准;
如果是完全刚体,使用L / 500或在极端情况下L / 1000为标准。
以上只是一个经验法则,但给出了一般允许变形的范围。
5%应变黄金准则
目前普遍存在一个“5%应变”准则,如果在线性分析中得到超过5%的应变,那么就应该进行几何非线性分析。
总结
检查能否忽略几何非线性的两种方法:
进行LBA分析:最小特征值高于10(弹性设计)或15(塑料设计)。
进行变形量分析:静态线性变形量符合允许的变形标准。
最后,如果无法确定能否忽略,最优的选择是进行非线性分析。