信号在脑子里面应该是什么样的

注：下面内容是我分析信号的思维过程，由浅入深，授人鱼不如授人以渔，希望同学们能认真看完。

经常看我文章的话，就会发现，我会经常提到阻抗频率曲线，阻抗是跟频率相关的。并且，我们在分析电信号的时候，信号频率是非常重要的一个东西。对于新手来说，可能不知道它真正的意义所在。或者说对于各种电信号，它在我们脑海里应该是怎么样的一幅图景呢？

正弦波和方波哪个简单

我们先来思考下这个问题：你认为正弦波和方波哪个波形最简单？              

如果是以前在上大学的时候，我会认为方波最简单。这不是显然的么，方波要么0，要么1，计算平均值什么的都能一口说出来，而正弦波弯弯扭扭，咋看都要复杂。

然而现在的话，自然是认为正弦波更为简单。那么为什么这么说呢？

首先，我们看下面这个电路，输入分别是正弦波和方波，输出你能马上得出来吗？

如果我们有了正弦波的幅度A和频率w(角频率w=2πf)，那么正弦波可以用公式表达出来，即Vin=Asin(wt)。电容的阻抗是1/jwc，那么根据复阻抗的欧姆定律，我们可以得到输出端的电压表达式，即Vout=1/(1+jwRc) Asin(wt)，j与相位有关系，所以输出端还是频率为w的正弦波，只是与原波形的相位有差别。

搞明白了正弦波，再来看方波。输入方波，频率也为w，输出波形形状也是方波吗？答案是否定的。可能会陷入下面误区：频率w没变，电容的阻抗是1/jwc也没变，所以同正弦波一样分析输出也是幅度有所缩小而已。

表面上看，这个误区的理解好像有道理，其实不然。造成这样错误理解的真正原因是因为没有理解电容的阻抗。我们常说电容的阻抗为1/jwc，其实它是有条件的，它只针对正弦波，方波是不行的，其它非正弦波同样也是不行的。

电容的阻抗1/jwC来源

为了明白这个，我们需要了解电容的阻抗1/jwc是怎么来的，下面就来简单推导一下，也不复杂。

首先需要用到电容的本质特性公式，I=Cdu/dt，这个公式是由电容的定义得来的，可以理解为公理，不需要证明。不过我并没有找到从这个公式直接推导出阻抗的过程（直接解方程的方式），如果有同学能够找到推导过程，麻烦在底下讨论区留言谢谢。

间接的方法是下面这样的：

逻辑是这样的，先假设电压是正弦波，那么可以推得电流表达式，然后用电压除以电流，就可以得到阻抗为1/jwc。如果没有了电压是正弦波的假设，那么就推不出来阻抗值。所以说电容的阻抗是1/jwc，这是有前提条件的，那就是只能是正弦波。

同样的道理，电感的阻抗jwL，也是对正弦波来说的。

傅里叶变换

再回我们的目的：如何知道方波的通过这个电路之后的精确波形？

既然正弦波在电容上的阻抗是确定的，那么能不能用正弦波来表示方波呢？当然是可以的，大名在外的傅里叶变换就是干这个事情的。

事实上，方波可以由无穷多的正弦波叠加而成，我做了个小视频，下面给同学们动态展示一下。

既然方波可以由一系列频率不同的正弦波叠加而成，在其中某个确定的频率w下，电容的阻抗就是1/jwC，那么我们就可以知道这个频率正弦波通过上面电路的波形。如果我们分别列出所有频率通过电路的之后的波形，然后再把它们相加起来，是不是就能得到方波通过电路之后的精确波形呢？

事实就是如此，这也是我们分析电信号的正确方法，需要我们通过傅里叶级数展开，将其视为各个正弦波分量的叠加。

之所以要分解，因为有这个好处：分解之后，三大基础元件里面的电感和电容，其阻抗就是确定的，我们可以把其当作电阻来看待，阻值分别是jwL和1/jwc，分析电路就显得更加简单。

我们常说，傅里叶变换是将时域信号变到频域上面。现在应该能明白为什么要这么做了吧？

通过上面的过程，这样做的原因，就是因为如果不变到频域，我们没法得到其通过这个RC电路之后的波形。而把它变到频域上面，我们就能处理了，先转换为各个频率分量，也就是傅里叶变换，分别通过RC电路，再变回来（波形再叠加起来），就又回到了时域，得到了我们想要的信号。

信号在脑子里的正确姿势

尽管我们上面只是分析了方波的情况，事实上，实际电路中的各种信号，不管是规则的还是不规则的，周期信号还是脉冲信号，都是可以通过傅里叶展开。因此，我们在处理电信号的时候，它在我们头脑中的图景应该是一个个不同频率正弦波的叠加。

傅里叶级数展开式本身确实是令人头大，不过我们并不总是要去代公式精确计算。尽管我们接触到的电信号各种频率分量很丰富，但是我们抓住主要的就行了，其它的频率分量可以忽略掉。还是拿方波来说，从上面的视频看出，其实我们只需要取前面的几次谐波，合成的方波形状就已经很好了，无穷多次谐波只是让这个方波更完美。

另外值得一提的是，傅里叶变换的思想其实应用非常广泛，不管你有没有学过，其实已经大都接触过了。

比如我们都知道人声频率范围是300Hz-3.4Khz。下面是一段人的录音，咱们不能直接看出来它的频率是多少吧，它就是个非周期的连续信号，显得杂乱无章。这个300Hz-3.4Khz说的意思就是，将这一段信号用傅里叶级数展开，里面会有比较多的频率分量，但是这些分量都落在300Hz-3.4Khz之间，而知道了这些，我们就可以去设计针对这个频率的滤波器来降低噪音。

这也能说明，傅里叶变换，让我们把看起来杂乱无章的音频信号，变得可以处理了。

结语

硬件设计中，电感电容总归是有的，也正是因为它们的存在，信号在我们头脑中，应该分解为一个个频率的正弦波分量进行处理，处理完再叠加。

上面这些内容，是我个人分析电路，分析信号的一点浅见，希望对同学们有所帮助。傅里叶变换，对于我们分析信号还是很重要的，或多或少都需要了解下。