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数值计算 | 如何利用高斯散度定理计算多面体几何属性

1年前浏览3724

写在前面

本文将基于高斯定理计算多面体的体积与质心。

高斯定理

在有限体积法中，我们最常见的便是高斯散度定理公式，其表达式如下所示。

上面公式的意义在于我们可以将体积分转为面积分，让我们可以在控制体网格上计算上述积分，例如采用梯形法：

其中，上标

表示取面心处的值，下标

表示遍历控制体网格所有面。

例如，我们在一个六面体网格上对对流项

进行积分：

然后，对于对非线性项

做线性化处理就可以使用各种数值格式了。

那么问题来了，既然有这么强大的数学工具，我们能不能用他来计算一些匀质多面体的几何属性呢？例如体积、质心等？

计算体积

任意几何体的质量可以通过下面公式计算：

式中，为密度。如果我们令，则上述公式便可计算出几何体的体积。

此时，我们引入密度函数

，代入上式可得：

例如，我们计算一个起点位于坐标原点处，沿坐标轴棱长分别延伸长度为

，

的直六面体的体积（每个面用一个矩形网格表示）：

代入公式计算可得：

计算质心

任意几何体的质心可以通过下面公式计算：

其中，下标表示质心。

此时，我们同样引入上一节提到的密度函数，代入质心计算公式可得：

注：上面推导使用了公式

最终可得质心计算公式为

我们仍然使用上一节的几何数据并采用相同的算法（如下式所示）:

从表中数据和公式可以知道，只有面 1、3 和 5 对应的中间结果非零，我们把这三个中间结果给出：

将上面三个向量加和并除以 24 可以得到质心坐标为：

这与我们的假设的六面体是一致的。

感兴趣的读者可以使用密度函数

来计算体积与质心，其实也可以得到相同的结果。

参考文献：

Improved Formulation for Geometric Properties of Arbitrary Polyhedra.
The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics: An Advanced Introduction with OpenFOAM and Matlab.

来源：有限元术

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首次发布时间：2023-04-04