振动学相关基础知识！

声学 (acoustics) 是物理学的分支之一，《声学基础》从声源的振动特性、声波在自由空间传播特性、声波在管道中的传播特性、声波的辐射以及声波的接收，做了详细的介绍。

何为声学的本质？“传声媒质质点产生的一系列力学振动的传递过程”。可以发现，这里有两个关键点，一是媒质，二是振动。通俗地讲，声源振动，然后带动周围的媒质振动，周围的媒质带动更远处的媒质振动，由近及远，这就是声振动的传播过程。

1. 自由振动

首先分析自由振动的物体，可以通过牛二推导出其振动方程，其解是按固有频率进行的简谐振动。

其对应的物理是如果物理有初始条件，或者在0时刻给了一个冲击，那么它就会按照其固有频率进行简谐振动。

2. 衰减振动

然后，考虑到实际物体在振动时会存在阻尼，阻力可能来自粘滞摩擦（向热能转化），亦或是来自周围媒质的反作用（辐射声能），故其振动方程要引入阻力项。此时解会有两种情况，阻尼较小时做振幅指数减小的简谐振动（振动频率会小于固有频率），阻尼过大时不再进行简谐振动。

3. 强迫振动

最后，分析的是强迫振动。强迫振动，顾名思义是存在一个外力，施加于振动物体。此时，振动方程变成非齐次常微分方程，这类方程的解由通解和特解组成，从信号与系统的角度讲叫零输入响应和零状态响应，而声学基础里称为自由响应和稳态响应。我们知道自由响应是指数衰减的，所以经过一段时间后即可忽略不计，物体的振动状态最终由稳态响应来反应。

我们假设外力是一个频率为f0 的简谐力，那么稳态响应将是频率为f0 的简谐振动，其位移振幅应为Fa/ω0∣Zm∣，很明显这是一个与频率相关的函数。同理，其速度振幅，加速度振幅也同样是频率相关的函数。

不同的频段，振幅的频率特性不同，我们主要利用三种频段范围：

• 第一种是，共振峰附近的频带，此处很小的外力就能激发很强的振动，进而辐射更大的声功率，例如换能器。

  
  

• 第二种是，具有均匀（平坦）的频率响应的频带，此处可以保证输入输出不失真，例如电声设备中。

  
  

• 第三种是，频响很弱的频带，此处外力作用下输出的振动幅度很小，例如隔振系统中要保证强外力作用下系统振动依然很微弱。

位移振幅、速度振幅，加速度振幅的平坦区不同。位移位于低频，此时其振幅可以近似成Fa/Km，称为弹性控制区；速度位于共振峰附近，此时其振幅可以近似成Fa/Rm，称为力阻控制区；加速度位于高频，此时其振幅可以近似成Fa/Mm，称为质量控制区。在电声设备中，力学端与电学端耦合时使用的是哪个物理量，则其平坦区对应的频段。

上面我们讨论的是单频外力作用的强迫振动方程，那么针对任意外力呢？当然是傅里叶分解成单频外力的叠加啊！周期性外力用傅里叶级数分解，非周期性外力用傅里叶逆变换分解。这就是经典的信号与系统中针对零状态响应最经典的求法。数学上看，振动方程就是个常微分方程，那也就是个线性时不变系统，这样求解当然没有问题。求得每一个单频外力的响应后，叠加即可得到最终的稳态响应。

附上经典框图：线性、分解、合成

1. 弦振动

弦振动是把具有一定质量的细绳张紧，以张力作为恢复力进行的振动。

取弦上的一个微元，计算两端张力在垂直方向上的合力，根据牛二列出运动方程，消去微小量即可得到弦振动方程。其数学形式是波动方程，其中c=√T/δ 是波动的传播速度。

根据数理方法中的达朗贝尔方法，我们知道波动方程的一般解是两个不同方向传播的波函数，由于边界条件的存在（弦的两端被固定）传播会被反射，所以弦上的任何位置都同时存在正向波和反向波，有界弦上形成驻波。

针对两端固定的弦振动，利用驻波法求解弦振动方程可以得到解的具体形式，是由各阶简正模态叠加的形式，即若给定初始条件或者在0时刻给一激励的自由响应。每一号简正模态空间上呈现三角函数式的幅度分布，时间上呈现的简谐振动，与其简正频率相关。

而不同简正模态的系数可以同过初始条件（初位移 or 初速度）去求得，因为不同号模态是正交的，所以求解时很方便。

需要注意的是，这里的边界条件是两端固定，即位移为0，不同的边界条件会产生不同的简正模态，如果是质量负载边界条件的话，会出现非谐频。

2. 棒振动

此处仅讨论棒的纵振动，其恢复力主要由其劲度（弹性）产生，其实纵振动的物理过程与声波的传播过程非常类似。

在棒上取一微元，计算其单位长度上的伸缩量（应变），利用虎克定律（应力正比于应变）即可算出不同位置处的受力大小，再对其列运动方程，消去微小量后就能得到棒的纵振动方程，其数学形式同样是波动方程，其中

棒的纵振动的数学形式跟弦振动的数学形式一模一样，那么可以预料到其自由响应的形式也与弦振动一模一样，也是简正模态叠加的形式。

这里我们分析一种新的边界条件，“一端自由，另一端受简谐外力”。此时的棒振动不再是多个简正模态叠加了，而是只有同外力频率相同的振动模式。类似于集中参数模型，如果外力频率与简正频率相同，则会形成共振（振幅非常大），因为分布参数系统存在多个简正频率，所以会有多个共振峰。

3. 膜振动

膜振动的恢复力主要是张力。因为膜是二维的，取一体积微元，类似于弦振动，在x 方向和y 方向分别列出运动方程，注意这里的T 为单位长度上的力，可以得到膜振动方程。其数学形式是波动方程，其中

我们考虑膜对称振动的自由响应，此时选取柱坐标系求解振动方程。通过驻波法可以得到解同样为各号简正模态的叠加，每一号简正模态空间上沿径向的振幅以0阶贝塞尔函数J0(knr) 形式变化，时间上是简谐振动，且与简正频率有关，这里的简正频率不再是倍频的关系，而是由0阶贝塞尔函数的一系列零点决定。

此外，需要了解的是，直角坐标系下三角函数是驻波解，e 指数函数是行波解；柱坐标系下，柱贝塞尔函数是驻波解，柱汉克尔函数是行波解；球坐标系下，球贝塞尔函数是驻波解，球汉克尔函数是行波解；物理上，两个方向相反，幅值相同的行波叠加形成的是驻波。

然后再来讨论一下膜的强迫振动，假设膜的表面受到一个处处相等的简谐力，此时振动方程变为一非齐次偏微分方程。时间上为简谐振动，振动频率与简谐力相同，故波动方程可退化为一非齐次常微分方程，自变量为r（其实，这也可以理解为对非齐次偏微分方程作一傅里叶变换的操作）。该部分的解可以由通解+特解组成，通解如上，是一0阶贝塞尔函数J0(k0r)，k0 由简谐力频率决定；特解是一常数；两者叠加的结果需要满足边界条件，即：

可以发现，如果强迫力的频率正好与膜的简正频率相等，此时会发生共振，同样会存在多个共振峰。如果膜的尺度很小（相当于横坐标截距左移）或是振动频率很低（相当于曲线变宽），那么幅值在 [0,a] 上变化会很小，说明各部分运动状态几乎相同，即可近似看作集中参数模型。

如果考虑阻尼的话，即引入一项位移的一次导数项，此时引入复波数便可继续化简为亥姆霍兹方程，负虚部代表衰减。

参考资料：

杜功焕.声学基础 (第三版)[M].南京大学出版社