应力集中与应力奇异是有限元计算中常遇到的问题，通过本文介绍，读者可以了解应力集中与应力奇异出现的原因，以及在Ansys Workbench中如何处理，以及网格细化经验。

应力集中指物体局部应力显著增高的现象。应力集中是机械设计工程师在设计产品过程中不可避免的问题。

在工程实际中，由于某种用途，通常需要在构件上开孔、开槽、开缺口、制作台阶等，这些构件截面突变的区域会出现应力集中；材料本身存在的夹杂、气孔、裂纹等非连续性缺陷也会产生应力集中；由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的残余应力，这些残余应力叠加上工件应力后也有可能出现较大的应力集中，其中结构焊缝本身就是容易产生应力集中的部位。

因此，在设计时应尽可能避免带尖角的孔、槽和划痕等，合理设置筋板等，以降低应力集中的影响。

在静荷载作用下，应力集中对塑性材料和脆性材料所产生的影响是不同的。

塑性材料因具有屈服阶段，当应力集中处的最大应力max达到屈服极限s时，仅此局部产生塑性变形，只有荷载继续加大，尚未屈服区域的应力才随之增加而相继达到s。因此，塑性材料在静荷载作用下，可以不考虑应力集中的影响。

脆性材料则不同，脆性材料没有屈服阶段，当载荷增加时，应力集中处的最大应力max一直领先，当max达到强度极限b时，局部就出现裂纹，从而产生断裂。因而，像混凝土等脆性材料应考虑应力集中的影响。

但在随时间作周期性变化的荷载或冲击荷载作用下，则不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中的影响都必须加以考虑。

网格划分时，对于不同部位的单元应当采用不同的大小。对于边界比较曲折的部位是应力和位移变化的比较剧烈的部位，单元必须小一些；在边界比较平直的部位、次要部位以及应力和位移变化比较平缓的部位，单元可以大一些。当结构存在凹槽或孔洞时，在凹槽或孔洞附近将发生应力集中，即该处的应力较大且变化剧烈，必须把该处的网格划得较为紧密，以便更为贴切的描述此处的应力和应变的变化。此部分的网格细化到何种程度将在下文详解。

应力奇异是指物体由于几何关系，在求解应力函数的时候出现的应力无穷大。在有限元计算中表现为：随着网格加密，应力始终增加而且不收敛。

现实中，由于任何物体都是有一定的强度的，不可能出现应力无穷大。所以在实际结构中是不会出现应力奇异的。应力奇异是由于数学算法的问题（可以理解为在有限元仿真中出现的问题），应力奇异点一般出现在尖角或刚性约束处。

如下图，箭头所指处应力显著增大，是应力集中处，但是随着网格细化，此处最大应力收敛于21MPa左右，即表现出网格无关性，说明不是应力奇异点。

注意：读取应力最大值时应排除应力奇异点，很多时候，应力最大值与应力奇异点重合，此时直接读取最大值时没有任何意义的。

在软件中，由于离散化误差，所以奇异点并不会产生无穷大的应力解，而是会随着网格细化，局部应力显著增大呈现不收敛或收敛很慢的现象。应力奇异处必然是应力集中处，但是应力集中处不一定应力奇异。

讨论应力奇异的目的是在于找出应力奇异点，分析哪些奇异点影响结构强度，再通过修改设计避免应力奇异现象。

实例1，L型支架竖边长50，横边长35，厚20，边界条件如下图，计算3mm，2mm，1mm，0.5mm网格下的奇异应力（最大应力）。

随着网格不断细化，直角处应力呈现显著增加且不收敛现象，这就是应力奇异现象（此处也是应力集中点）。

实例2，使用Workbench的网格自动细化功能计算上例，研究最大应力增长是否能收敛到5%以内。

Workbench提供了网格自动细化功能，自动细化的网格自动转换为四面体网格（因为四面体网格更灵活，更容易实现自动细化）。

Step1，初始化网格，使用默认的设置划分网格，如下图。

注意初始网格需要保证模型在厚度方向上至少有3层网格，

否则容易出现误算情况，比如在网格很粗的情况下，两次应力计

算结果相近，软件误认为网格细化已达到变化容差条件。

Step2，设置细化循环次数与细化层数。

点击特征树中Soulution(A6)，在属性窗口设置Max Refinement Loops(细化循环次数)为5，Refinement Depth(细化层数)为默认的2。含义在下文介绍。

Step3，添加Convergence(收敛)：右击应力结果——Insert——Convergence。

在Convergence的属性窗口中设置Allowable Change(变化容差)为5%。

Step4，点击Solve计算。

经过刚才的设置，网格最多经过5次细化，计算最多进行6次（1次初始网格下计算，5次网格细化迭代计算）。如果在5次内，应力结果的变化值已经收敛到我们设置的5%变化容差以内，则将不进行之后的网格自动细化。本例进行了5次迭代也不能使应力变化收敛到5%内，所以特征树中的Convergence选项前将显示感叹号，表示收敛失败，最终云图与收敛图表如下。

由以上收敛图表可知，网格自动细化进行了5次，最后一次的网格数量达到27.25万，最大应力186.81MPa，但是应力变化值未收敛到5%以内，而且呈现放大不收敛趋势。
 Change（%）=（本次应力-上次应力）/（本次与上次应力的平均值）。

2.2.2模型尖角处的应力奇异处理方法

对于不影响结构强度的应力奇异点，我们可以忽略它，使用应力探针探测我们关心处的应力，或者选择我们关心的局部模型进行显示。

很显然，上例模型尖角处的应力奇异点和集中点影响了结构强度，为了避免应力奇异或应力集中影响结果强度，需要修改设计，比如添加圆角，便可以消除应力奇异现象。

实例3，将实例1、2中L型支架转角处添加R3圆角，使用实例2的方法再次计算最大应力，研究最大应力增长是否能收敛到5%以内。

步骤参考实例2，注意初始网格在厚度方向应至少有3层。最终云图与收敛图表如下。

由以上收敛图表可知，网格自动细化只进行了2次，最后一次的网格数量仅2.71万，最大应力60.84MPa，但是应力变化值收敛到3.7%。

  本例还可进一步减小变化容差值，下表为变化容差设置为1%后的结果。最终应力变化值收敛到0.14%，最大应力60.92MPa，与容差设置为5%时的变化不大，所以一般我们认为变化容差5%已足够。

2.3 刚性约束处的应力奇异及处理方法2.3.1 刚性约束处的应力奇异现象

在《Ansys Workbench边界条件——载荷与约束实例详解》一文我们介绍过，固定约束Fixed Support与强制位移约束Displacement由于是刚性约束，容易产生应力奇异。

实例4，截面为10mm×10mm×30mm的矩形条拉伸说明此问题，固定矩形条一端，另一端施加10000N的拉力，使用网格自动细化功能，最大细化循环次数设置为5，研究最大应力增长是否能收敛到5%以内。

根据材料力学，矩形条的应力应该为σ =F/A=10000/100=100MPa。但是本例中，最大应力远远大于此值，且不收敛，固定约束处出现了应力奇异现象。

2.3.2 刚性约束处的应力奇异处理方法

大多数情况下，我们不关心固定约束处的应力值，它不影响结构强度，我们可以忽略它，使用应力探针探测我们关心处的应力，或者选择局部模型进行显示。

当我们需要关心固定约束处的应力时，可以使用远程位移功能施加6向约束，以其代替固定约束，远程约束设置中Behavior默认为Deformable(柔性)，即允许约束面受力时变形，所以不会出现应力奇异现象。

软件默认划分的网格容易出现重要部分的结果不够准确或不收敛，不重要的部分网格过细，浪费计算资源。所以在网格划分中，使用者应重点关注重要部分的网格划分，比如应力集中区、接触区、大变形区等，对这些部分进行单独的局部网格控制。

网格的质量也会影响计算结果，可以通过修改过渡、平滑，设定质量控制目标等在一定程度地优化网格质量，也可用色块形式显示网格质量，请参考全局与局部网格控制的文章。

关于六面体与四面体网格的选择：在同等尺寸前提下，六面体拥有更少的单元数量与节点数量，离散化误差更小。但是在实践应用中，很多复杂模型不易使用六面体网格划分，软件会自动使用四面体网格划分，四面体网格的适应性更强，特别是对于局部加密网格的模型，四面体网格的灵活性比六面体网格强得多。对于工程应用，不用纠结于六面体还是四面体网格，计算精度都能满足要求。

在不存在应力奇异前提下，关于重点区域网格细化到多少才能使应力结果计算准确？这往往需要实践经验，没有绝对的标准。读者也可使用实例2、3、4中的网格自动细化功能。但是对于复杂模型，可能需要耗费很多的计算资源与时间。在使用自动细化功能时，应保证模型厚度方向至少有3层单元。

实际工程应用中，复杂模型一次计算可能需要数小时或数十小时，时间不允许我们采用自动细化功能，此时我们可以使用前人的经验总结：模型厚度方法至少需要2层单元。应力云图默认色块红**域应至少完整覆盖2层单元。

实例5，将实例3中L支架整体划分4mm网格，圆角划分0.5mm网格，计算最大应力。

Step1 网格划分。

Step1 施加边界条件并计算。计算结果为60.6MPa，与实例3中的结果接近，此时红**域完整覆盖了4~5层单元。

说明：默认色标分为9格（上图左侧），从深蓝到鲜红共9个颜色，每个色块代表了应力增长范围都为最大应力的1/9≈11%。让默认色块的红色完整覆盖2层单元保证了有足够大的模型面积处于最大的11%的应力范围内，避免了网格细化不足的情况。

最后需要指出，变形无奇异现象，往往很粗糙的网格也能计算出较准确的变形位移。

写在最后，任何一门计算机辅助技术都是入门简单精通困难，所以需要工程师持之以恒地学习与实践。有限元分析不仅要求工程师对理论基础熟悉、对分析软件熟练，还需要积累丰富的实践项目经验。笔者的理论水平、软件熟悉程度、实践经验等方面都不足，难免会在上文出现很多纰漏错误，恳请指正批评。