最普遍的运动形式——简谐振动

来源：豆瓣用户酱拌油泼蛋

简谐振动是最普遍的运动形式之一。弹簧振子、单摆等绝大多数振动，在振幅不太大时都符合简谐振动的形式。固体中原子在平衡位置附近的振动，也用简谐振动来描述。甚至量子场论中的基本粒子，也用一系列简谐振动形式的“场”来描述。

质点的运动，如果被势场束缚在一个有限的区域内，则称为束缚态运动；反之，如果能到达无穷远处并保持大于零的动能，则称为散射态运动。以无穷远处为势能零点，散射态的动能大于势能，总机械能为正；而束缚态的动能小于势能，总机械能为负。最简单的运动形式是，当势场不存在时，质点将做匀速直线运动，这种情形称为自由粒子。除去自由粒子外，最简单、最普遍的一种运动形式就是简谐振动了。

简谐振动是一种束缚态运动形式，质点在平衡位置附近一个有限的范围内运动（如下图所示）。一维势场中的束缚态运动通常是周期性的，当质点回到初始位置、方向相同时，完成一个运动周期，此后将重复这个周期。一般的一维束缚态运动，周期是与振幅有关的。简谐振动是一种特殊情形：势场是二次函数形式时，周期与运动振幅无关。

在平衡位置附近足够小的范围内，一般形式的势能都可以近似为二次函数形式。将势能按平衡位置附近的位移做级数展开：

平衡位置附近的势能：

其中，第一项是常数项不产生作用；第二项是线性项，平衡位置为势能的极小值点，故此项为0；主导项为第三项，即二次项。从受力分析的角度：

平衡位置附近的受力：

平衡位置处外力为0，因此第一项消去；主导项为第二项，即线性回复力。

因此，一般的束缚态振动在振幅较小时，都可以近似为简谐振动。简谐振动的势能是位移的二次函数，所受外力正比于位移，指向平衡位置方向。通常把简谐运动的势能和回复力写作：

根据牛顿第二定律、拉格朗日方程或哈密顿方程，可得到简谐运动的位移满足的运动方程：

这是一个非常著名的二阶线性常系数微分方程，它有两个线性无关的通解：

它们是以ω 为角频率的周期性运动，也可以看作匀速圆周运动在一个方向上的投影。将这两个通解做线性叠加，得到一般解：

其中，A 称作运动的振幅，与运动的总机械能大小有关；φ 称作运动的相位。振幅与相位由运动的初始状态决定，而频率只由势能本身决定。

简谐运动的位移、速度、加速度（外力）都以相同的频率随时间振荡变化。这种振动在介质中传播，可以形成机械波；电场和磁场按这种振荡方式随时间变化，可以形成电磁波；在量子力学中，简谐振子因具有优良的数学和物理性质，被作为描述粒子的最常用模型。