刚体动力学中的动量矩坐标系
来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。
动量矩坐标系
欧拉情形的刚体定点运动
图1 刚体相对动量矩坐标系的姿态
设刚体相对 (O-xyz) 各轴的主惯性矩为A、B、C，将动量矩矢量L 直接向 (O-xyz) 各轴投影，分别等于Ap、Bq、Cr。导出
令以上两组公式各项相等，得到ψ、θ、φ 的一阶微分方程组：
其中，ν=L/C，σ=(A-C) /A，ρ=(B-C)/B。作为刚体运动的数学模型，一阶微分方程组比欧拉方程简单得多，实际上是以动量矩守恒的首次积分代替了动力学方程。令一阶微分方程组中第1式与式第3式相除，消去时间变量t，得到仅含θ 和φ 的自治的一阶微分方程：
从上式中积分得到θ(φ)，代入一阶微分方程组中第3式和上式消去θ，即导出椭圆函数形式的解析积分，与雅可比从欧拉方程解出的结果相同。
上式也可用于定性分析。利用相平面的奇点理论，在 (θ, φ) 平面内分析刚体绕主轴转动的稳定性。令上式的分子和分母同时为零，共确定6个奇点Sj (j=1,2,⸱ ⸱ ⸱,6)，分别对应于刚体绕3个惯性主轴正负方向的稳态转动。利用对奇点类型的判断，确定刚体绕主轴转动的稳定性条件。
粘性介质中刚体定点运动
图2 动量矩坐标系相对惯性坐标系的姿态
设M 为刚体上作用的对O 点的力矩，依据动量矩定理dL/dt=M，列出
考虑 (O-XYZ) 坐标系牵连转动对刚体角速度的影响，在下式中
应增添动量矩L 进动产生的角速度增量，改为
为简化表达，其中与
和
相乘的括弧内α、β、ψ、θ、φ 的三角函数组合以省略号表示。令动量矩矢量L 在 (O-xyz) 各轴上的投影分别与Ap、Bq、Cr 相等，且利用下式消去
和
导出
其与
组成以L、α、β、ψ、θ、φ 等6个状态变量的一阶微分方程组，作为欧拉方程的替代。
以刚体在粘性介质中的运动为例，设阻尼力矩M 与角速度ω 之间满足线性关系：
将下式代入到上式中，
变换为对 (O-XYZ) 各轴的投影，再代入式
设刚体的自旋角φ 和进动角ψ 均快速变化。令上式在φ 和ψ 的每个变化周期内平均化，得到L 和和的平均值：
表明阻尼力矩的平均效应使刚体的动量矩L 的模减小，而平均方向仍保持与Oζ 轴一致。
参考文献：
[1] 刘延柱. 欧拉情形刚体定点运动新解. 上海力学, 1981, 2 (3) : 52-55
[2] 刘延柱. 刚体的拟Euler-Poinsot运动. 固体力学学报, 9, 1988 ,4: 294-302
[3] Liu Yanzhu. The development of the dynamics of rigid body with state variables. Acta Mechanica Solida Sinica, 1990, 3 (3) : 307-314
