Matlab数值优化应用在化工中

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    在实际工程应用过程中经常碰到从多个可能方案中选出最合理、能实现预定最优目标方案,这个方案就称为最优方案。通常最优方案获得需要在多个相互约束的变量中取得平衡。例如,化学反应的速率随着温度的升高而增加,提高反应器温度有利于增加产量,但是提高温度可能会增加不必要的副产物,同时也增加过程能耗,因此反应器的最优操作温度就要综合考虑这些因素的影响，寻找最优方案的方法称为最优化方法。

最优化问题的基本形式与分类

一个最优化问题可以定义如下。

目标函数:

约束条件：         

    式中,x是由n个变量组成的向量,称为决策变量或自变量;h(x)是一组维数为m₁的等式向量,称为等式约束;g(x)是一组维数为m₂的不等式向量,称为不等式约束。

    某化肥集团公司有两个化肥厂,其产能分别为a_i，i = 1,2。现需将其分别配送到10个分销点,两个工厂到分销点的运输价格为C_ij,, i= 1,2; j = 1,2，…，10，运输量.x_ij，i=l,2; j =l，2，…，10必须保证每个分销店的销售量d_j;，j=1，2，…，10,求运输费用达到最少时的运输量。根据以上描述,写出该最优化问题的目标函数和约束条件。

目标函数：              

约束条件：

    根据目标函数和约束条件方程和自变量x类型不同可以将最优化分为不同类型。如果最优化问题没有约束条件,则称为无约束优化问题,反之则称为有约束优化问题。如果目标函数和约束条件都是线性关系,则称为线性规划问题,在生产计划安排、生产调度、资源分配等常可遇见这类问题。如果目标函数为非线性函数,则该问题为非线性优化问题,特别地,如果目标函数具有平方和的形式,则称为最小二乘问题,最小二乘问题在模型参数回归中应用十分广泛,过冷水在实际应用中就经常使用最小二乘法回归化工模型参数。

数值最优化算法的基本思路

数值最优化通常采用迭代方法,即从一个初始的猜测解x₀出发,通过优化算法产生一个迭代数列.x_k, ,使x_k在迭代过程中逐渐减小,当迭代至x_k无法再减小时,求解完成.迭代时,从任意x。出发寻找下一个迭代点工w1需要确定搜索方向和搜索步长，这可以表示为

p_k表示搜索方向;a_k表示搜索步长,根据确定搜索方向和步长基本思想不同,可分为两种策略:线搜索策略和信赖域策略。过冷水在此不打算讲两种算法的详细思路，而是给比较实用的如何应用Matlab解决优化问题。

给出Matlab最优化常用函数

利用以上 MATLAB优化工具箱函数求解最优化问题的步骤如下。

(1)分析数学模型,选择恰当优化函数。

(2）根据选择的最优化函数,进行必要编程求解问题,包括以下步骤；

①编写目标函数;

②编写约束条件(等式,不等式,边界,非线性约束条件);

③设置求解函数的输入输出,进行求解﹔

④观察结果是否合理。

以下结合具体实例介绍部分函数的使用。

线性规划问题

线性规划研究的问题主要有两类:确定一项任务,如何统筹安排,以尽量少的资源完成任务；如何用一定量的资源来完成最多的任务。在化工厂的排产过程中经常使用线性规划。

线性规划问题数学模型为

目标函数：              

约束条件：

用于求解线性规划问题主要使用linprog函数，

[x，fval]= linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub，xo，options)

某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产1 kg甲产品需要原料A2 kg,原料B5 kg;生产l kg乙产品需要原料A 3 kg,原料B7 kg,原料C 6 kg。如果l kg产品甲和乙的销售价格分别为5万元和15万元,三种原料限用量分别为150 kg、200 kg和 120 kg。试确定应分别生产这两种产品各多少公斤才能使总销售价格最高?

令生产甲数量为x,生产乙数量为x,根据题意可以建立如下模型。

目标函数：              

约束条件：            

程序如下。

 f=[ -5 -15];
A=[2 3;5 7;0 6];
b= [150;200;120];
lb=[0;0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
Optimal solution found.
x =
   12.0000
   20.0000
fval =
  -360

当生产甲乙两种产品12kg和20kg时，可以实现360万元销售额.

无约束非线性规划

当目标函数或约束条件中有一个或多个为非线性函数,就称这样的规划问题为非线性规划。根据模型中约束条件的有无,非线性规划分为无约束非线性规划和有约束非线性规划两大类问题。

MATLAB用于求解无约束非线性规划问题函数为fminbnd、fminsearch和 fminunc。其中 fminbnd 函数只可以求解单变量无约束非线性规划问题; fminsearch 函数和fminunc函数则可用于求解单变量或多变量无约束非线性规划问题。

1. fminbnd 函数利用该函数可以求解区间[x₁, x₂]内单变量函数的最小值，常用的调用格式如下。

[x，fval，exitflag] = fminbnd(fun，xl，x2，options),在区间[x1, x2]内,用options指定的优化参数对目标函数fun进行最小化;并返回最小解x及x处的目标函数值fval。

2. fminunc函数﹑利用该函数可以求解单变量或多变量函数的最小值,常用的调用格式如下。

[x，fval，exitflag] = fminunc(fun，x0，options),以给定的初值x0,用options 指定的优化参数对目标函数fun进行最小化,如果省略options则按默认参数进行最小化,最后返回最小解x及x处的目标函数值fval。

3. fminsearch函数﹑利用该函数可以求解单变量或多变量函数的最小值,常用的调用格式如下。

[x，fval，exitflag] =fminsearch(fun，x0，options),以给定的初值x0,用options指定的优化参数对目标函数fun进行最小化;如果省略options则按默认参数进行最小化,最后返回最小解x及x处的目标函数值fval, fminsearch使用算法与fminunc不同。

求函数f(x)在[-5,5]上最小值。

fun='(x^3 x^2-1)/(exp(x) exp(-x))';
[x,fval,exitflag]=fminbnd(fun,-5,5)
x =
   -3.3112
fval =
   -0.9594
exitflag =
     1
函数在x=-3.3112处取最小值-0.9594
目标函数也可以采用匿名函数
f=@(x)((x^3 x^2-1)/(exp(x) exp(-x)))
[x,fval,exitflag]=fminbnd(f,-5,5)
f =
  包含以下值的 function_handle:
    @(x)((x^3 x^2-1)/(exp(x) exp(-x)))
x =
   -3.3112
fval =
   -0.9594
exitflag =
          1

最小二乘法

    最小二乘优化问题也是一类最优化问题,在科学研究与工程设计中经常会遇到这类问题。例如,系统辨识中的参数估计问题,BP神经网络中权值训练问题,根据大量实验数据去构造某种形式函数的数据拟合问题等，过冷水在最优化问题上最常用的就是最小二乘法。非线性最小二乘优化问题的数学模型为

在MATLAB优化工具箱中求解非负最小二乘问题的函数为

[x，resnorm，residual，exitflag，output，lambda] = lsqnonlin ( fun，x0，lb,ub，options)

其中:

(1) fun和x0是不可缺省的输人变量;

( 2) fun函数句柄,对于指定的x返回目标函数的计算值;

在研究一些具体问题时,常需根据数学理论和问题的实际特征用一个某种形式的函数 y = f(x,a1,a2,...,am)作为未知函数近似表达式,其中,a1,a2,...,am为待定常数，为了使这个函数所确定的关系能接近已有数据,可要求参数a1,a2,...,am取极小值。这是一种特殊的最小二乘问题,称为最小二乘拟合问题,其数学模型为

在MATLAB优化工具箱中求解非负最小二乘问题的函数为

[a，resn，resid，exitflag]= lsqcurvefit( fun,a0，xdata，ydata，lb，ub，options)

输入变量规定:

( l) fun、a0、xdata和 ydata是不可缺省的输入变量;

( 2) fun函数句柄,对于指定的x返回目标函数的计算值;

(3) a0是向量,为待拟合参数a，ag，…，am的初始值;

(4)  xdata和 ydata分别是已知的自变量数据和因变量数据﹔

(5) 其他参数说明参见前面的函数。

输出变量:

a为最小二乘拟合获得参数值, resnorm为拟合残差平方和, residual为残差, exitflag为程序退出标志。

求解非线性最小二乘问题

x0=[1 1];
[x,resn,resid,exit] = lsqnonlin(@objfun,x0,lb)
Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.
<stopping criteria details>
x =
    1.4142    0.0000
resn =
   30.0000
resid =
    1.0000    5.0000   -2.0000
exit =
     3

已知数据

试用y=a₁exp(a₂x)函数拟合

x=1:8;
y=[15.3 20.5    27.4    36.6    49.1    65.6    87.8    117.6];
a0=[1 1];
fun=@(a,x)(a(1)*exp(a(2)*x))
[a,resn,resid]= lsqcurvefit(fun,a0,x,y)
xcal=1:0.1:8;
ycal=fun(a,xcal);
plot(x,y,'bo',xcal,ycal,'k-')
legend('Original Data','Fitted Curve')

本期过冷水和大家分享了数值优化的问题概括，同时给出了线性规划，无约束规划，最小二乘优化这三类问题的具体解决办法，灵活应用本文给出的案例函数，基本就可以解决工作遇到的常见优化问题，希望大家能够快速学会应用到实践中去。

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