单自由度受迫振动系统详解

具有粘性阻尼的系统，自由振动会逐渐衰减，并最终停下来。但是，当系统受到外界动态作用力的持续激励时，系统的振动将会持续下去。系统在外界持续激励下引起的振动称为强迫振动，它是系统对外部激励过程的响应。系统的响应是指外界的激振所引起系统的振动状态，如位移、速度和加速度等。系统的激励可以是力，也可以是位移、速度和加速度。

激励随时间变化的规律可以分为，简谐激励、非简谐周期性激振和随时间任意变化的非周期性激振。简谐激振力是按正弦或余弦函数规律变化的力，如偏心质量引起的离心力，载荷不均或传动不均衡产生的冲击力等；非简谐激振力，如凸轮旋转产生的激振、单缸活塞-连杆机构的激振力等；随时间变化的任意激振力，如爆破载荷的作用力，也可以是位移、速度和加速度。

谐波激励是最简单的激励，系统在谐波激励下的响应也是简谐的。对于线性系统，谐波激励及其响应均满足叠加原理，复杂谐波的激励可以分解为一系列简谐激励，然后再对每一个简谐激励的响应叠加，即可获得总的响应。谐波激励下的响应问题是强迫振动中最简单、最基础的问题。

受迫振动方程：

非齐次通解=齐次通解 非齐次特解

齐次方程通解：

非齐次方程通解：

2. 受迫振动的稳态振动

从方程的通解可以看出，振动的位移由自由振动、受迫振动两部分组成。教科书中通常在此引入阻尼，这样振动在阻尼的作用下自由振动部分逐渐衰减，若干周期后只剩下受迫振动部分。这一点并不符合初始的无阻尼假设，只是简化分析上的考虑，但是应该看到受迫振动部分才是整个解中值得关注的关键部分。

这样方程的解可以简化成：

振幅：

由F=kx，可令Bs=f0/k，它相当于激振力幅值f0 静作用在弹簧上所产生的静变形。

由此可见，强迫振动的频率与激振力的频率相同，即系统的强迫振动与激振力具有相同的变化规律；强迫振动的振幅决定于系统本身的物理性质，激振力的大小和频率比与初始条件无关；其振幅比由频率比决定。

• 当λ＜1时，随着λ 的增大，即ω 增大，振幅比B/Bs 也相应地增加，系统的振幅增大；振幅比B/Bs 为正，受迫振动与激振力同相，所以受迫振动与激振力之间的相位角ψ=0。

  
  

• λ 很小 (ω<<ωn) 时，振幅比B/Bs ≈1，即B=Bs ，振幅B 几乎与激振力幅值引起弹簧的静变形Bs 相等，此时系统的静特性是主要的。

  
  

• λ>>1(ω>>ωn) 时，振幅比B/Bs 趋近于0，当激振频率ω 远远超过系统的固有频率ωn时，振幅反而很小。

  
  

• λ=1(ω=ωn)时，振幅比B/Bs 无穷大，即受迫振动的振幅将达到无穷大，即出现共振现象。

共振的振幅B：

对于确定的系统而言，共振振幅B 与激振力的大小，作用时间成正比；与固有频率成反比。由此可见，固有频率越低越危险，激振力越大振幅越大，作用时间越长振幅越大。因此，在共振不可避免时，可以从这三个方面入手控制共振强度（振幅）。

图1 强迫振动力学模型

令ω²=k/m，2n=c/m，q=F0/m

它的通解可以用二阶线性常系数齐次微分方程的通解x1(t ) 与方程的特解x2(t ) 之和表示，即：X=x1(t ) x2(t )。

其中，ψ 为位移落后与激振力的相位角，B 为受迫振动的振幅。

在有阻尼的情况下，x1(t ) 只在振动初期某一较短的时间有意义，随着时间的增加，它将逐渐衰减殆尽。

将x2(t ) 代入方程，得到

令λ=ω/ωn，ζ=n/ωn

2. 稳态振动

有阻尼单自由度系统在简谐外激励下的稳态振动有如下规律：

• 对谐波激励的响应仍然是等幅谐波，运动规律有激励频率ω、振幅X、滞后相位ψ 确定。

  
  

• 响应频率与激励频率相同，响应滞后激励的相位角为ψ。

  
  

• 滞后相位角ψ 与无阻尼响应的初相位不同，前者是由于系统的阻尼引起，而后者是由初始条件确定的。

  
  

• 强迫振动的振幅决定于系统本身的物理性质、激振力大小和频率比，与初始条件无关。

图2 有阻尼振动的幅频特性曲线

从图2可以看出：

• 影响振幅的因素主要是激振力幅值F0、频率比λ 和阻尼比ζ。受迫振动的振幅B 与激振力幅值F0 成正比。因此，要改变受迫振动振幅B，只需改变激振力的幅值F0。

• 频率比λ对振幅B 的影响。当λ 很小 (ω<<ωn) 时，振幅比B/Bs≈1，即B=Bs，振幅B 几乎与激振力幅值引起弹簧的静变形Bs 相等；当λ>>1(ω>>ωn) 时，振幅比B/Bs 趋近于0，振幅B 很小；当λ≈1(ω≈ωn) 时，在ζ 较小的情况下，振幅B 则很大，在无阻尼状态下，振幅比B/Bs 趋于无穷大，受迫振动的振幅将达到无穷大，即出现共振现象。使振幅或振幅比达到极值的频率称为共振频率，用ωr 表示；ωd为有阻尼固有频率，ωn 为无阻尼固有频率。求解极值可得：

• 阻尼比ζ 对振幅的影响。当，有阻尼时的幅频响应曲线均在ζ=0 的幅频响应曲线的下方，这说明阻尼的存在使得振幅B变小；当，在ω<<ωn 和ω>>ωn 时，计算振幅可以不计阻尼的影响；当，在共振区内，振幅的大小对阻尼敏感，其幅值随着阻尼增加而迅速减小，因此该区域为阻尼敏感区。在共振区内可以通过增加阻尼来有效地减小系统的振动幅度，但在共振区外阻尼对减小系统的振幅的作用非常有限。

图3 有阻尼振动的相频特性曲线

由图3可见，小阻尼振动系统的相频特性：

• 当激励频率很低时，相位角滞后很少，说明振动位移几乎与激励是相同的。但随着激励频率的增加，相位角滞后程度增大。

  
  

• 当激励频率很高时，相位角滞后超过π/2，说明振动位移几乎与激励是反相的，这主要是质量惯性所导致的结果。

  
  

• 当激励频率等于固有频率时，即λ=1时，ψ=π/2。

  
  

• 在阻尼很小时，当λ＜1，相位角趋于0；当λ＞1，相位角趋于π。对于ζ=0 的系统，在λ=1 时，相位角ψ 由0突然变为π，即由同相突变为反相，这种现象称为倒相。

图4 瞬态振动（过渡过程的振动）

参考文献：

[1] 闻邦椿 等编著 机械振动理论及应用[M]，北京：高等教育出版社，2009.5(2015.1重印)

[2] 鲍文博 等编著 振动力学基础与Matlab应用[M]，北京：清华大学出版社，2015(2019.8重印)

[3] 陈奎孚 编著 机械振动基础[M]，北京：中国农业大学出版社，2010.12[4] 顾海明,周勇军 编,机械振动理论与应用[M], 南京:东南大学出版社 2007.2【免责声明】本文转自产品设计研习社，版权归原作者所有，仅用于学习！对文中观点判断均保持中立，若您认为文中来源标注与事实不符，若有涉及版权等请告知，将及时修订删除，谢谢大家的关注！