知乎高赞：通俗易懂的有限元基础原理
来源：知乎，作者：大香蕉
这本是我的一个回答，鉴于反响不错，也想让更多的人看到，故搬过来写成短文，目的是给有限元初学者一个全局视角，了解原理，以便后续学习。
既然说了要通俗易懂，那我就以讲故事的方式来回答吧。
请注意，为逻辑顺畅，答案中的时间顺序并不完全对应有限元的发展历史。
1、最初，人们热衷于用各种力学理论严谨地研究结构构件的受力行为。于是开发了以“平衡(Equilibrium)”、“几何(Kinematics)”、“本构(Constitutive)”三大方程为基础分析方法，姑且称为弹性力学法。此法本质是一个边界条件问题(Boundary Value Problem)，需要求解微分方程，算出构件的位移后，再推出应力、应变、反力等。其中“平衡”方程和“几何”方程几乎都是微分方程(组)。
平面问题三大方程(截自清华大学mooc：有限元分析及应用)
力学方法虽然理论简单直接，结果也最精确。但是，对于略微复杂的结构，上述分析便会遇到复杂的微分方程……学过高等数学的同学应该都了解微分方程的恐怖，轻则算上一天得到错误答案，重则头发掉光发现下不了笔……总之，微分方程大大降低了使用弹性力学法的效率，甚至让求解成为不可能。
2、在被微分方程折磨够了之后，大家终于想起了一句话：惹不起，躲得起。
人们开始改进弹性力学法，试图绕开求解微分方程，于是“虚功原理(Virtual Work Principal)”和“最小势能原理”被搬上了舞台(这两玩意儿是等价的，同时又等价于结构满足静力平衡)。
那么怎样才能绕开微分方程呢?答案是在计算一开始就去猜结构受力后的位移，比如你觉得最终的位移可能是线性的，那你可以假设位移的表达式为
，另一个人觉得位移可能有周期性，那他可以假设
，这个位移最好满足边界条件(注意，这里是“最好”)，之后算出结构在假设位移下的内外力虚功，或者是应变能，令其满足对应的能量原理。干完这些后大家发现，整个计算过程中没有出现微分方程，只需要求一些积分，就能得到位移表达式中的未知数，从而得到完整的位移函数。
虚功原理与最小势能原理(截自清华大学mooc：有限元分析及应用)
好吧，如果讲成这样你还看不懂，你记住下面这句话就好了：人们通过猜位移并引入能量原理的方式终于摆脱了微分方程，可以通过积分来分析结构了。
为什么要这样做呢?因为积分好算啊，再复杂的积分在数值积分面前都是弟弟，数值积分中又以Gaussian Interpolation效率最高，现在的有限元软件基本都采用Gaussian，什么积分点、减缩积分等概念就是数值积分中的东西。
这是有限元发展中极为重要的理论突破，学界将其称作：Convert Strong Form(指弹性力学法解微分方程)to Weak Form(指猜位移求积分)。当然，这个方法是有代价的，后文会详细介绍，正是在消除这个代价的过程中诞生了有限元。
3、摆脱微分束缚这件事可不得了，打了翻身仗的人们都高兴fong了，争相运用猜位移的方法去研究结构：从简单到复杂，从一维到多维，从轴力构件到任意变形实体……到后来，大家发现用传统书写方式进行计算效率贼低，一大堆类似的方程算来算去，好不自在。
于是有人引入了矩阵(Matrix)来改善计算效率，把相似计算写成矩阵形式，使得书写更加简洁，效率也更高。矩阵的引入和有限元的核心原理的关联不大，但作为一种工具实在是太好用了，人们如获至宝地用矩阵重写了分析过程，使得现代有限元中充斥了矩阵运算。后来人们给运算过程中的一些关键元素起了名字，比如刚度矩阵(Element Stiffness Matrix)。
红框中为2自由度杆的单元刚度矩阵
红框中为2节点4自由度梁的单元刚度矩阵
4、前文第二节提到了一个代价：想要用能量原理，就必须得猜结构位移，而位移对结构分析极其重要，后续应力，应变，反力全靠位移导出。对于简单的结构，尚能根据经验猜个大概;但是结构稍微好看点，受力复杂点，猜不猜的准就全看运气了。运气好，算出来和真实情况八九不离十，运气不好……工程中是不允许这种随机的东西出现的(量子学家请走开)
如果没学过有限元，总学过微积分吧，把任意一条复杂的曲线分成许多段，每一段都视作直线，只要分的足够多，最后直线连接起来就和原来的曲线差不多。类比这个思想，把结构分成很多很多份，去猜每一份上的位移，比如都猜成线性，只要结构被划分的够多，每一份上猜的准不准就无所谓，在保证单元之间几何相容的前提下，算出来的位移就会很靠近真实的位移，这样一来，就大大降低了猜错位移对最终结果的影响。这是有限元发展中又一重要里程碑，学界把这一方法称为：N-type Refinement(对应于另一条思路：P-type Refinement，即如何猜的更准)，有限元理论由此基本构建完整。
为方便使用，人们后来制定了若干标准单元，比如平面三角形单元，空间四面体单元等，每类单元提前给定好假设位移(即位移模式)，将结构划分成一定数量的标准单元来分析，即有限单元法。
就这样，有限元诞生了。此后的时间里，在电子计算机的强力支撑下，有限元渐渐从一种运算繁琐辅助工具成为了当代重要的结构分析手段。
试函数就是猜出来的函数(截自清华大学mooc：有限元分析及应用)
至此，结构有限元基本原理已经说完。总的来说，有限元就是一种结构计算的近似方法，核心在于：弹性力学的基本分析，能量原理的引入与数值积分，结构离散化保证准确性。
