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Matlab偏微分工具箱的使用

过冷水

3年前浏览4823

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在平常的学习中可以通过Matlab中的偏微分工具箱求解偏微分方程。Matlab pde工具箱是利用有限元法求解二维线性和非线性微分方程的工具。本期过冷水就和大家详细了解一下pde工具箱

Pde工具箱求解问题类型和方法

方程类型

偏微分方程工具箱求解的基本方程有椭圆型方程、抛物线方程、双曲线方程、特征值方程、椭圆型方程组、非线性椭圆型方程。

椭圆型方程：

抛物型方程：

双曲型方程：

特征值方程：

非线性椭圆型方程：

方程组：

边界条件

1 Dirichlet 条件 hu=r

式中h是一个标量，r是因变量u在边界上数值，对于二维体系有：

2 广义Neumann条件

对于二维体系：

3 混合边界条件，Dirichlet和Neumann线性组合：

二维体系：

初始条件

对于抛物型和双曲线型方程的定解问题，需要给出初始条件。

抛物型方程

双曲型方程

利用Matlab偏微分方程工具箱求解偏微分方程问题可以有两种方法，一是利用工具箱图像用户界面，二是利用工具箱提供的各种函数编程求解非标准形式问题：

GUI求解PDE问题一般步骤

在Matlab命令窗口键入pdetool命令，即可打开工具箱GUI界面

采用GUI求解偏微分方程，步骤如下。

（1）画求解区间；

（2）设置边界条件；

（3）设置方程；

（4）网格刨分；

（5）解方程，输出网格和解的数值；

（6）图形结果。

具体案例：

例题5计算高宽比为2∶1的矩形管内不可压缩层流的流速分布,并求该矩形管内的平均流速。已知该管内流速符合以下方程：

边界条件:u = 0(x= 0，x = l，y= 0，y = 1)，壁面处速度为0

解:

以上方程为椭圆型偏微分方程，具有Dirichlet边界条件。

(1〉绘制求解区域

首先利用Draw菜单绘制矩形求解区域。Draw菜单的各选项意义如表所示。

菜单选项	作用
Draw Mode	进入绘图模式
Rectangle	以角点方式绘制矩形或正方形
Rectangle(Centered)	以中心方式绘制矩形或正方形
Ellipse	以角点方式绘制椭圆或圆形
Ellipse（Centered）	以中心方式绘制椭圆或圆形
polygon	绘制多边形
rotate	图形旋转
Export Geometry Description	输出求解区域模型

选择"Rectangel/square”选项,将鼠标移动至绘图区域,在绘图区域拖动,绘制一个矩形,Matlab会自动命名。绘制后双击图形,弹出参数设置对话框。参数设置如图所示。

如图所示的设

（2）定义边界条件

在Boundary菜单中点击“Eoudary Mode”选项,进人边界条件模式,此时几何模型图中的边界会变成红色箭头所示,每两个箭头为一段独立的边界。用鼠标单击边界,则边界变黑,表明它已被选中。按住Shift键可以连续选择多段边界。选择结束以后,则边界上双击或点击Boundary菜单上的“Specify Boundary Conditions”选项，则弹出如图7.5所示的边界条件设置对话框。

(3)设置方程

选中PDE菜单中的PDE Mode 进入PDE设置模式此时几何模型以灰色图形显示。选中PDE菜单中的PDE Specification弹出PDE设置对话框。

本例中，所求方程为椭圆型方程，其标准形式为：

在对话框中选择Elliptic,输入c=-1,a=0,f=-256,点击OK

(4)网格剖分

选中Mesh菜单中的“Mesh Mode”则进入网格剖分模式,并自动生成初始网格,这与点击Initial Mesh选项(工具栏中的△按钮)的效果相同。选中 Remesh选项,自动加密网格。

选择“Display Triangle Quality"选项,将显示网格质量。图中,三角形网格质量最好定为l,并以红.色表示,质量最差的定为0,以蓝色表示,两者之间的网格以红色和监色之间的过渡色表示。如果对网格质量不满意可以继续加密网格,还可以利用Mesh菜单中的JiggleMesh选项对网格进行微调。

执行“Export Mesh”选项,则可将生成的阿格数据输出至变量空间的三个变量中。