随机振动中时域、幅值域、时差域及频率域之间的关系！

来源：文章整理自百度文库 《振动冲击试验方法与技术》，作者：王树荣。

随机过程最明显的特点是非周期性，瞬时值无法预测；但并非无规律可言，而是表现出统计规律性。因此，对随机信号的研究处理和分析必须用统计的方法来进行。对某一随机过程，通常用下列四个方面的信息来描述它：

• 时域：有平均值、均方值、均方根值、方差等；

  
  

• 幅值域：有概率分布、概率密度等；

  
  

• 时差域：有自相关函数、互相关函数；

  
  

• 频率域：有自功率谱密度、互功率谱密度、频率响应函数以及相干函数。

随机过程有平衡的和非平稳的；有各态历经的和非各态历经的；有正态分布的和非正态分布的。在随机振动试验的范畴内，通常假定为平稳的、各态历经的，并且是正态分布的。所以，本文的叙述都是从这一假定出发的。

时域信息

它描述一随机变量或一组数据的平均状态。在数理统计和概率论中，此值称为数学期望，表示随机变量的位置特性。其数学表达式为：

在随机振动理论中，通常将平均值取为零，所以在随机振动试验中此值不常用。

2. 方均值

在随机振动试验中，方均值表示试验能量的大小，由于平均值取为零，故方均值就是方差，它描述一随机变量或一组数据在平均值周围的分散性，即在平均值上下的波动大小。其数学表达式为：

3. 方均根值

它描述一随机变量或一组数据在平均值周围的集中程度。在随机振动理论中，由于将平均值取为零，所以方均根值就是标准偏差。其数学表达式为：

此值在随机振动试验中表示有效幅值的大小。

幅值域信息

1. 幅值的概率分布

幅值的概率分布是描述随机振动瞬时幅值低于某一特定值的概率，它与幅值概率密度一道描述了随机振动瞬时幅值大小的分布规律。典型的幅值概率分布曲线如图1所示。

图1 幅值的概率分布曲线

由图1可见，P(x) 是幅值x 的函数。幅值小于X1 的概率为P(X1)，幅值趋于正无穷大的概率P( ∞)≤1，幅值趋于负无穷大的概率P(-∞)≥0，所以幅值的概率分布范围为0≤P(X )≤1，该分布主要用于对随机信号的分析和研究中，而在随机振动试验中不常用。

2. 幅值的概率密度

幅值的概率密度表示随机振动瞬时幅值落在某一区间内的概率。在随机振动试验中，幅值的概率密度曲线为正态分布曲线，并且平均值为零。为了分析方便，通常还将标准偏差σ 规范化为1。其数学表达方式为：

幅值的概率密度曲线如图2所示。

图2 正态分布概率密度曲线

由图2可见，概率密度曲线下的面积为1，所以通过概率密度曲线就很容易知道某瞬时幅值出现的概率，例如瞬间幅值为图2中的-(X △X ) 的概率，就是概率密度曲线下那个长方条的面积。同时由图2还可以看出，随机振动的瞬间值大于3倍方均根值 ( 3ms) 和小于3倍方均根值 (-3rms) 出现的概率非常小，约占0.26℅。在 3rms 和-3rms 之间出现的概率十分大，约占99.74%，这就是通常把3rms 值作为随机振动试验最大幅值的依据。当用磁记录仪和数据采集器记录随机振动信号时，要保证3rms 的瞬间幅值不削波。另外，随机疲劳计算时的最大加速度量级也是以3rms 值为依据的。rms 值就是标准偏差σ 值，当将标准偏差σ 规范化为1时，则这里的3rms 均表达为3σ。

时差域信息

上述的平均值、方均值、方均根值、幅值的概率分布、幅值的概率密度充分描述了随机振动在时域和幅值域中的各种信息，但没有给出频率含量与时间历程之间的信息。这些信息是在自相关函数和互相关函数中给出。

1. 自相关函数

随机过程X(t) 的自相关函数定义为在时刻t 和时刻t τ 的随机变量乘积的平均值，τ 是时移，当平均时间T→∞时，平均值的极限便是自相关函数，其数学表达式为：

自相关函数描述了随机信号在特定时刻的瞬时值如何取决于先前出现的瞬时值。它反映了随机信号本身在不同时刻的相互关系，即间隔时间两侧的随机信号的相互依赖关系，从而在时差域上建立任何时刻的随机量值对未来量值的影响。

自相关函数可以用来判别是否为宽带随机信号，这是因为对于宽带随机信号来说，当时移τ 非常小时，x(t) 和x(t τ) 相差很小的概率很大，这时Rx(τ→0) 值非常大，表示关系密切。特别当τ=0时，Rx(τ=0) 值最大，等于方均值，表示完全相关。当时移τ 较大时，x(t) 和x(t τ) 相差很小的概率很小。作平均计算正负对消，Rx(τ) 值很小。并且随着τ 值的增大，Rx(τ→∞) 值很快衰减到零，表示x(t) 和x(t τ) 之间没有依赖关系，说明对一般的随机振动时间间隔很远的二个随机量之间不存在任何固定关系。宽带随机信号的自相关函数如图3所示。

图3 宽带随机的自相关函数

自相关函数可以把随机信号中的周期成份检测出来，这是因为任何周期信号在所有的时移上都有一定形状的自相关函数图形。例如正弦波的自相关函数为余弦形函数，在所有的时移上具有与正弦波一样的周期（相位角信息消失了）。所以对周期信号来说，因为它经过一个周期后又精确的重复过去的时间历程，因此当时移超过该周期时，其自相关函数必然重复前一段的形状。所以若在自相关函数图上发现时移趋于无穷大，Rx(∞)≠0，而有某种周期性，则说明该随机振动信号混有周期信号成分。

自相关函数通过傅里叶转换可以得到自功率谱密度，用这种方法易于测量和分析，所以它是随机振动试验的基础与基本参数。

2. 互相关函数

互相关函数表示一随机振动信号x(t) 在t 时刻的值和另一随机振动信号y(t τ) 时刻值乘积的平均值，它与自相关函数一样，同样是时移的函数。它表示了二个随机振动信号之间的依赖性。互相关函数的数学表达式：

在随机振动试验中，利用互相关函数，可以确定一随机振动信号通过一给定系统所需的时间。因为信号在系统中的时间滞后值，可以通过输入和输出的互相关函数中的峰值位置来确定。互相关函数最大值偏离坐标中心位置的时间坐标移动值，就是信号通过系统的所需时间。如果一线性系统的输入通过几个通道输出，利用互相关函数的时移，可以确定那个通道的传输是主要的。互相关函数通过傅里叶转换可以得到互功率谱密度。

频率域信息

1. 自功率谱密度

功率谱密度是描述随机振动信号各频率分量所包含的功率，在频率域是如何分布的，是随机振动在频率域上的一种统计特性。

在正弦振动试验中，振动的频率和幅值都是确定的，所以振动的功率（能量）是很清楚的，也是很好计算的。而随机振动由于振动的时间历程是明显的非周期性，所以必须用功率谱密度（方均谱密度）来计算。

随机振动信号可以看作由无限多个简谐运动组成，因此随机振动信号的功率谱便是在给定频率范围内简谐振动功率之和。简谐振动的功率正比于幅值的平方，所以在指定频率上，随机振动信号的功率谱密度为

上式可见，在指定频率上的功率谱密度就是信号在Δf 中的方均方值的平均值。理想的情况是，平均时间无限长，滤波器的带宽无限窄，这实际是不可能的，因此通常是用有限平均时间和有限带宽，这样（方均值/单位间隔频率，故也称方均谱密度）

功率谱密度在频率范围内的变化形式，即功率谱密度对频率的图型，称功率谱密度的频谱。功率谱密度的频谱还可以这样理解：如果将随机振动信号分割成许多小频带Δf，并在每个频带上测出方均加速度值，然后除以Δf，并令Δf→0，这时所得的函数称功率谱密度的频谱。由于功率谱密度的单位为g²/Hz，即每单位频率上的加速度值的平方，所以在随机振动试验中又称加速度谱密度，功率谱密度的频谱又称加速度谱密度的频谱。功率谱密度（加速度谱密度）的单位由g²/Hz 和m²/s⁴/Hz 二种表达形式，它们之间的关系为100倍的关系，即1g²/Hz=100m²/s⁴/Hz。

功率谱密度除用作提供频率域的信息外，还可以用来分析产品的动态特性、研究疲劳损伤、判别共振等。例如，通过功率谱密度可以判明安装在运载工具上使用的产品所经受到的诸多振动中，哪一种是主要的，哪一种是可以忽略的，从且易于对产品进行设计改进。

2. 互功率谱密度

互功率谱密度描述两随机振动过程之间的频率信息，它不仅能提供按频率分布的能量大小，还能提供二信号之间的相互关系。从互功率谱密度中，我们可以得到系统的频响函数，可以确定振动响应与对其激励的时间关系。

上面介绍了如何用时域、幅值域、时差域和频率域的信号描述随机振动。而当前在试验内模拟现场随机振动，重现的主要是现场随机振动的有效频率成份（频率范围）、功率谱密度（加速度谱密度）、总均方根加速度，即保证这三个参数来自现场振动。但在具体进行随机振动时，振动台面的运动仍是随机振动的时间历程，该时间历程应该是现场随机振动时间历程的典型代表等。