ABAQUS必修课： 解决不收敛，拯救不开心

前言：说起CAE仿真计算，就必然要说起解的收敛性问题，很多同学都为之头痛，因为其出现的报错的信息就一句话“Too many attempts made for this increment”。

但是其出现的原因却是五花八门的，无论是重新调试分析模型还是仔细阅读计算报错日志，对于计算不收敛问题的处理总是非常棘手的。其实想要彻底的解决这个问题，就要搞清楚：什么是解的收敛性？

一、什么是解的收敛性？

首先需要明确的是CAE仿真计算是基于有限元计算方法运行的，按照有限元方法的描述：整个分析模型的场变量可以理解为是每个网格单元相场应变量的集 合，即按照一定的近似原则，将一个复杂连续的工业实际问题分解为有限个离散的问题集 合。在数学原理上讲，将实际问题离散成的独立方程组的数量越多，那最后得出的计算解就越接近于真实解，正如下图所示，

图1、割圆法求圆的周长

针对同一个圆的周长计算，我们在圆周上取的点越多，得到的正多边形的周长就越接近于圆的周长，类比到CAE有限元分析计算中，针对相同的分析模型，网格单元的尺寸越小，即网格单元的数量越大，仿真分析计算的结果就越逼近于模型的真实解，这也是在CAE有限元仿真分析中常常被提到的网格的收敛性，但是，考虑到网格单元的数量所带来的计算成本，在仿真分析的实际操作中往往不直接采用过小尺寸的网格单元参与计算，而是根据仿真模型的大小与实际问题选择近似收敛的网格单元尺寸，而ABAQUS软件自带的网格自适应技术可以实现收敛性网格尺寸大小的自动计算。

图2、网格自适应技术来实现收敛性网格尺寸大小的自动计算

除了网格单元尺寸对求解收敛性的影响外，还有一个因素是被我们用到做多的，基本上处理不收敛问题第一个想到的就是它——最小增量步。

针对文章一开始提及的错误信息“Too many attempts made for this increment”仅存在与ABAQUS/Standard 求解器中，在ABAQUS两种求解器的对比分析中，我们详细的讲解了每种求解器的求解逻辑。在ABAQUS/Standard中是无条件稳定，但有条件收敛，即无论在开始计算的时候我们设定什么样的时间增量，通用求解器都可以根据计算的需求在指定的区间内选择适合的时间增量，这也就是其无条件稳定的特征。但是，当我们设定的最小时间增量或者最大迭代次数不能满足其对平衡方程的求解，那么它就会报出这个错误信息，即有条件收敛；而在ABAQUS/Expilicit求解器中，就不会存在这个现象，并不是在显式求解器中不存在网格单元的收敛性问题，而是显式求解器的求解理念是通过设置较小的时间增量来减小每一步的计算误差，并且认为每一步的计算误差都是可以接受的。

这样一来，时间增量的设置大小就直接决定了最终计算结果与实际值的偏差，为了减小这一偏差，使得计算结果是稳定的，就需要根据模型网格单元的尺寸来设定分析的时间增，即显式求解器的有条件稳定，无收敛性问题的特性。

最后，我们给出关于有限元分析计算出的解的收敛性较为官方的解释：当选取的单元即完备又协调时，有限元的解就是收敛的，即当单元的尺寸趋于零时，有限元的解趋于问题的真实解。需要主义的是针对于单纯的数学问题，其微分方程组的解析解往往是不能得出的，针对于复杂的实际问题，又有很多问题的物理模型或者数学模型还未建立，因此在由实际问题转化为分析模型时本身就已经具有了一定的误差；同时再加上计算机计算误差（如计算近似的舍入误差等）使得有限元仿真分析的解收敛于实际真实值在某种层面上可以理解为是对仿真计算的离散误差的控制：网格单元尺寸与求解方法的设定两个方面。

二、提高求解收敛性的分析步设置

在CAE仿真计算的过程中，分析步的选择与参数设定在很大程度上决定了仿真计算结果的收敛性，下面就ABAQUS/Standard求解器中“静力、通用”分析步简单讲解一下不同求解方法对解的收敛性的影响。

在ABAQUS/Standard求解器的“静力、通用”分析步中，其对方程的求解方法分为两种：直接发与迭代法，并且软件默认是采用“直接法”求解。

首先需要说明的是在前面的叙述中，我们已经非常明确的指出ABAQUS/Standard求解器是基于迭代方法求解问题的，那么这里的直接法与迭代法又如何去理解呢？其实这个也是很好理解的，前面所说的迭代法是针对系统刚度矩阵K的求解方法，在系统的刚度矩阵已经求得并形成线性平衡方程KU=P后，针对于平衡方程KU=P的求解方式分为直接法与迭代法。简单的来讲，直接法就如同其名一样，其直接针对系统刚度矩阵求逆从而得到系统的位移解；迭代法是基于迭代的求解方法计算出系统的位移解。在理解了这里所说的迭代法与我们之前所讲的隐式求解器（ABAQUS/Standard）中的迭代法之后，我们详细的看一下分析步中的直接法与迭代法：

直接法，其全称直接式线性方程求解方法，该方法一般用于线性和非线问题的分析。针对非线性问题的分析一般采用牛顿方法，正如上文所述，在求解的每一次迭代过程中都必须求解一系列的线性方程组，而直接线性求解器就是用来寻找这些线性方程的精确解的。由于直接线性方程求解器往往采用稀疏、直接、高斯消元法，这也使得其具有了耗时的缺点，特别是对于大型模型的计算时，其劣势会更加的突出。

迭代法的全称叫做迭代式线性方程组求解方法，该方法通常用于寻找线性、非线性、准静态、地应力、孔隙流动扩散以及热传导等分析步的线性方程组的求解过程中。由于采用了迭代的计算方法，所以不能保证给定的线性方程组具有收敛解，这也决定了在某些情况下，直接法是求解收敛解的唯一选择，这也是为什么ABAQUS软件会默认选择直接法：相对于保证方程组一定有收敛解而言，计算时间的消耗是可以忽略的。如果确定求解收敛时，使用迭代法求解可以获取更加精确的结果。当然这里所说的“精确”也要依赖于相对容许值的大小，ABAQUS软件做为一个专业级别的商用分析软件，其对相对容许值的默认设置足够保证计算结果的精确度，但是对于一些特定的分析，例如薄板或者薄壳结构的分析，适当的调整容许值迭代法的优势就会更加的明显。

三、【直播】橡胶大变形的仿真分析 -解决不收敛，拯救不开心

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1、重启动分析在橡胶大变形分析中的应用

2、基于Python语句的大变形分析

3、基于ABAQUS/CAE的大变形分析

4、对计算结果文件的合并