我所常用的单元：桁架+梁

这次来说一下张量的基本计算。对于加减，标量、向量、张量其实都是用传统的方式进行，就无须赘述，但需要注意的是张量加减的时候需要注意两个张量的“基准”必须是相同的，也就是说张量的各个分量只有两个张量在统一的基向量的情况下才能相加，类比于两组坐标如果想相加，则必须要统一坐标系下。而对于张量乘，则有很多不同的地方，正确的叫法也不应该是乘，而是“积”（product），而又有多种“积”，包括内积，叉积、外积，这里就跟标量区别有些大，在说这些之前，先说一下爱因斯坦标记法，我个人认为其实就是因为科学家懒弄出来的标记方法。爱因斯坦在推导相对论的时候，为了记号方便，就发明了张量表示法。他又发现经常会有相同下标求和的情况发生，于是规定：凡是在一项内有相同下标出现的，一律默认求和,而重复的下标就称为dummyvariable(哑标)，不重复的就称为freevariable(自由标)。所以以下公式的意思就是这里熟悉矩阵计算的大家，就可以看到，其实这就非常类似于一个矩阵与向量的乘积。那么下边分别介绍一下内积、叉积、外积。内积是降阶的，这是至关重要的一点，类比两个向量点乘得到一个标量，同理在张量计算中，一个张量为m阶，一个为n阶，且，那么他们内积的结果为阶张量。如下所示，一个2阶张量与2阶张量的内积得到了一个0阶张量，也就是个标量(应变能的计算)，另外一个例子则是一个四阶张量与2阶张量的内积得到了一个2阶张量（应力-应变的关系）。叉积不会升降阶，一般叉积其实在计算力学中就是用于两个向量的运算（一阶张量），两个一阶张量的叉积仍得到一个一阶张量那么用张量的技法怎么写呢，两个向量的叉积其实可以表述为下边的形式：其中是Levi-Civita符号,被定义为:外积（outterproduct）也叫kroneckerproduct,tensorproduct,directproduct，就问你晕不晕，不同人有不同的叫法。外积是升阶的，在张量计算中，一个张量为m阶，一个为n阶，那么他们外积的结果为阶，比如如下两个一阶张量的外积有很多人喜欢写外积的时候，直接省略，虽然我非常不喜欢，但是我们得知道这个，所以用这种写法，上边的公式就写成：好了，今天就到这里，下次我们讲一下，求导、拉普拉斯、散度、旋度等。来源：大狗子说数值模拟