有限元基础知识：动力学分析
大家平时对静力学都很熟悉，今天来简单的说一下动力学分析，动力学的基本方程可以写为：
其中 为质量矩阵， 为阻尼矩阵， 为刚度矩阵， , 与 分别代表位移、速度与加速度。一般来说大家对与质量与刚度有比较深的理解，而阻尼主要作用就是起到结构中能量消散的作用，一般我们常见的阻尼矩阵的构成方式有以下几种：
瑞丽阻尼（Rayleigh damping）：阻尼矩阵为刚度矩阵与材料矩阵的线性组合 结构阻尼 （Structural damping）：跟刚度矩阵有关，可以认为是 材料阻尼 （Material damping）：与材料性能相关，与刚度矩阵和质量矩阵没啥关系 阻尼单元 （Damping element）：有些如弹簧阻尼单元带有阻尼，与刚度质量未必有关系
现在了解了动力学的基本方程，我们可以看到上述方程与静力学最大的区别在于时间 的存在，那么为了求解上述方程呢，我们就需要对时间 进行处理。通常来说我们处理动力学问题可以采用模态叠加法或者直接时间积分法，我们这里就主要关注直接时间积分法。
时间离散化方法有很多种，常用的有：中心差分、龙格库塔、Wilson-theta、HHT、Newmark等。他们之间的思想基本类似，在有些地方对于前后几个时间点选取不同、系数不同，这里主要以Newmark为例说一下其基本流程，后续如果想了解其他的，可以在评论区留言。
对于Newmark方法，我们认为 步的速度是由第 步的速度及第 与 步的加速度决定的
那么根据上述速度我们就可以得到 步的位移。
Newmark方法是无条件稳定的，也就是时间步 取多大，他都是稳定的 （对比的是显式动力学中心差分的条件稳定，时间需要小于一定值）。但是“稳定”和“准确”可不是一个意思，时间步取得过大还是会在一定程度上降低精度。一般来说在Newmark方法中我们取 , ，这也是在大部分商业软件中最常见的取值。
我们将 ，那么上述公式可以重写为：
将上述公式再带入到：
我们就可以将上述公式转化为一个跟静力学仿真类似的线性方程：
其中 为 , , 的线性组合，可以类似的理解为“修正的刚度矩阵”， 可以类似的认为式“修正后的”外力项。那么现在唯一的未知就是 , 可以通过线性方程求解直接获得。再获得后再通过当前步的位移，与之前步的位移反算速度，进而加速度，整个动力学问题就得以求解。
上述只是比较通用的线性动力学的基本流程，后续会讲一下非线性动力学，还有各种强制运动（平动、转动）、初始运动等在动力学中的实现，如果大家有兴趣也可以说说显式动力学及瞬态热分析，敬请期待。
