有限元基础知识：模态分析

模态分析是研究结构动力特性的一种方法，主要用于识别和分析结构的固有振动特性，避免结构工作中发生共振现象。大家工作与学习中应该会经常用到，而他的基本原理也是比较易懂的，首先我们上次聊过动力学有限元基础知识：动力学分析

动力学的基本运动方程可以写为：

我们可以进一步忽略掉阻尼项，并关注物体本身的特性，故去掉外力项，那么上述公式写为：

根据上述公式，在有限元中通过单元的离散化分别计算质量    矩阵与刚度    矩阵，并引入简谐振动的基本假定即

那么上述公式就可以转化为：

也就可以得到

可以看到这是一个典型的通用特征值问题，他的特征值     , 通过一些基础的变换上述公式即可从通用特征值问题转化为我们熟悉的特征值公式，即

之后我们即可通过特征值求解算法如Lanczos，power method等求出特征值，进而求出特征向量。而我们求出的特征值与自振频率    之间的对应关系为：

这样我们就得到了一个力学系统本身的自振特性，这里还有一个值得注意的点那就是1个特征值对应的特征向量不唯一，因为对特征向量放缩一定的倍数仍为特征向量，工程中我们一般对质量矩阵进行归一化处理，也就是

在进行模态分析后，我们往往可以进行更多的频域动力学方面的仿真分析来更好的得到在载荷作用下结构的动力响应，典型的就有谐响应分析（Harmonic response），响应谱分析（Response spectrum）与 NVH（Noise vibration and harshness）分析等。

大家如果感兴趣可以后续深化聊一聊这些分析类型。