我所常用的材料：Mises塑性

之前说过常用的材料模型 我所常用的材料本构，其作为一个引子，我们现在来展开说说。

很多朋友都上过塑性力学的课程，我上学的时候听的是云里雾里，后来自己整体的从前到后看了一遍，才豁然开朗，今天说一下可能是最为常用的塑性Mises塑性，及其在计算力学FEM中的计算方式。

首先对于很多塑性模型，其实我们都有这样一条式子

其中    为等效应力，     为屈服应力，当我们认为材料进入塑性，而不同的塑性模型其实就是对应着对于    的计算方式的不同，其中Mises模型中

一般工程中我们可能会直接根据     与屈服强度的大小判断是否发生屈服，而在有限元中我们要如何计算呢？这里首先引入塑性计算的一个重要理论，流动理论（Flow theory）也有人叫塑性流动或流塑理论。

流动理论

流动理论的核心思想就是

也就是说我们自变量为应力张量的这个流动函数     是有边界的，始终小于等于0。这里我们可以类比工程上超过屈服应力则发生屈服。以下则是很多种屈服准则的     平面图，也就是我们刚刚所说的那个“边界”。这里熟悉优化分析的朋友们可能已经兴奋起来了，这是多么常见的一条约束方程啊。 

对于弹性的时候，我们有

这和工程上是一样的，而对于塑性我们则有

因为达到塑性的时候一直等于0，所以其变化率    ，我自己认为“流动理论”的名字贴切就贴切在这里，想象我们的应力状态就在    平面的边界上流动。

 这里指的注意的点，就是很多人其实不太理解这一条式子

大家在想应力发生了变化，为啥    , 其实原因也很简单，应力是个张量，你可以想象成有9个数，他可能每个数都发生变化了，但是整体的     (标量) 并不变。

对于应变，现在我们把应变分为弹性应变与塑性应变

其中应力的大小则只有弹性应变决定，即

那么我们现在就有

其中     为函数    的梯度，也可以说是    变化的“方向”。对于Mises塑性，我们认为其塑性应变的"变化方向"与    是相同的，而变化率定义为    , 也就是说    , 那么结合以上公式，我们就可以得到应力变化率的形式为

对于上述公式，应变的变化率在有限元计算中是由积分点处增量的应变来表达的，那么上述公式中我们唯一不知道的就是    。而对于Mises塑性，其实我们可以轻易的得到    , 原因在于

其中     为偏应力（deviatroic stress)，即

那么我们就可以直接对其进行求解得到

这部分具体计算如果可以自行推导，很是简单。那至此以上我们所有不了解的就都了解了。上边说的是理想弹塑性模型即    ， 屈服应力始终是一个定值，而真正我们最长用的则是带有强化的塑性模型，分别为等向强化与随动强化，即isotropic hardening 与 kinematic hardening，那么我们以上计算应力变化率的公式会变为：

其中     为硬化系数。

最后真正到数值计算中的时候我们需要通过迭代的方式进行塑性应力与切线刚度矩阵的求解，且切线刚度矩阵还分为consistent与continuum两种形式，因为篇幅的关系，且听下回分解。