使用二维矢量有限元展示一个实际例子

概述本篇文章从一维例子出发，介绍自适应有限元中几种常见的后验误差，并且对比各自的优势。后验误差按照实现方式，可以分为：基于恢复梯度的后验误差；基于残差的后验误差；基于物理场规律的后验误差；以及试测的基于纯粹梯度的后验误差。下面就这几种后验误差给出常见的表达式与测试结果。1.几种后验误差的基本原理A.基于恢复梯度这种后验误差在之前介绍过，其基于理论：仿真数值解的精度在未知点位置的精度最高；数值解的梯度在高斯点位置精度最高；因此可以通过获取单元内高斯点的高精度梯度解，进而通过插值等方式获得整个区域内其他精度低位置的梯度值，对比即可获得每个单元的梯度误差。详细可参考：B.基于残差的后验误差这种后验误差基于微分方程，根据理论，有限元求解求解结果一定是满足原微分方程的，因此将数值解带入到微分方程中，等式两边理论上应该成立。但是由于有限元本身求解的是弱解问题，因此存在一定误差，而这误差则可以用来评价该点的精度，以此作为后验误差。一般的微分方程可以写成：基于残差的后验误差表示为：C.基于物理场规律的后验误差这种后验误差基于本身研究问题的物理规律，根据物理规律，指定每个单元上的误差标准。例如一维电磁场衰减，物理场满足电场、磁场在节点上连续；有限元本身只保证了电场连续，因此可以通过求解节点两侧单元的磁场是否连续作为误差判断标准。式子表示，使用内部节点两侧单元求解该点的磁场，两者的差值作为判断单元计算精度的标准。其实不难发现，本例子描述的基于物理规律后验误差本质上是恢复梯度的后验误差。在二维三维中则不是如此。D.基于纯粹梯度的后验误差这是作者梯度原理猜想的一种后验误差，其原理是：对于只要求表面节点精度而言，求解该点对于每个单元的梯度，因此获得每个单元对于该点的影响程度，对于影响大的网格进行加密。由于测试案例使用简单的一维模型，因此采用扰动法求解梯度矩阵。2.测试本次测试案例以一维电磁场衰减为例，分别对上述几种后验误差进行测试，其中A、C在本例中是一种后验误差。测试标准以在研究区域发射电场表面的电阻率变化为标准。具体可参考：二阶叠层基函数：二维电磁衰减数值模拟。自适应有限元实现过程这里不再讨论，详细实现可以参考：自适应有限元技术:一维电场衰减数值模拟。这里直接讨论几种后验误差的测试结果;A.测试一维电场在均匀介质中的传播规律初始网格与计算的电场如下，10个均匀网格单元，频率10000Hz。该网格计算的视电阻率为138欧姆米，与理论值100相差甚远。a.基于恢复梯度A、物理场C的后验误差测试结果：b.基于残差B的后验误差测试结果：c.基于纯粹梯度D的后验误差测试结果：不难看出，三种后验误差加密得到的网格差异明显。从电场本身的精度来看，基于恢复梯度的A、C后验误差的精度最大，而纯粹基于梯度D的后验误差精度最低。从加密程度看，基于纯粹梯度D的加密集中在0点附近；而基于恢复梯度A、C则相对分散开；从视电阻率精度结果来，三者误差均达到了可控范围0.01%内，但是基于恢复梯度A、C的网格量大于基于残差B大于纯粹梯度D。因此，如果考虑视电阻率精度与网格量角度来看，基于纯粹梯度的方式D是最佳的。其次是基于残差，最后才是基于恢复梯度。B.测试一维电场在非均匀介质中的传播规律一维材料参数模型如下，在研究区域内存在低阻1欧姆米的区域。a.基于恢复梯度A、物理场C的后验误差测试结果：b.基于残差B的后验误差测试结果：c.基于纯粹梯度D的后验误差测试结果：三种后验误差的视电阻率在该频率下的计算结果：上述测试的视电阻率理论结果为123.91，可见整体上看基于残差的后验误差的精度和网格量是最佳的。纯粹基于梯度D的结果精度要稍微低一些。继续测试了几组频率，对比结果：整体来说，基于残差B的后验误差方式的效果是最佳的，网格量少，视电阻率也几乎和理论解一致；基于恢复梯度的A、C精度是最高的，但是网格量也是最大的；基于纯粹梯度的D在频率500Hz的时候误差太大。3.总结使用一维模型，初步测试了几种后验误差的自适应收敛效果，其中整体上最佳方案是基于残差的后验误差，其次是基于恢复梯度、基于物理磁场；基于纯粹梯度的后验误差虽然网格量有时候很少，但是可能会计算不准确。来源：实践有限元