《Mechanics of Solid Polymers》4.10 能量平衡和应力功率

yunduan082

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4.10 能量平衡和应力功率

本节介绍机械效应的平衡，并展示如何由此得出应力功率的定义。首先，定义外力对当前构型Ωc中物体所做功的速率：

其中t是表面力，bf是体积力，v是速度场，所有这些都在当前构型中表示。利用柯西应力定理（方程(4.138)）和散度定理（方程(4.54)），该方程可以写成：

因此，外部功率（P_ext）等于内部机械功率（也称为应力功率P_int）加上动能的时间导数（DK/Dt）。

从这个方程可以看出，单位当前体积的应力功率是

它可以通过方程(4.79)转换为参考体积：

其中Jσ是Kirchhoff应力τ。从这个方程中，我们说τ和d是功共轭应力和变形速率度量。

应力功率的表达式可以转换为其他应力度量。首先，从方程(4.150)回想起

，将其代入方程(4.203)得到：

这说明第一Piola-Kirchhoff应力与变形梯度的时间导数是功共轭的。

单位参考体积的应力功率也可以用第二Piola-Kirchhoff应力S来表示。回顾方程(4.150)中，得到：

项F^T dF可以通过代入F = RU, d = l - w, Ḟ = RU̇ + ṘU, 和 Ṙ = wR来简化，得到：

其中Green应变（方程(4.119)）定义为：E^G = 1/2[U² - I]，因此：

因此，第二Piola-Kirchhoff应力与Green应变的时间导数是功共轭的。

在开发本构方程时，使用功共轭的应力和应变度量很重要。下表总结了三对最常用的应力和应变度量：

表4.2 功共轭应力和变形率度量

应力度量	功共轭变形率度量
Kirchhoff应力 Jσ ≡ τ	应变率张量 d
第一Piola-Kirchhoff应力 P	变形梯度的时间导数 Ḟ
第二Piola-Kirchhoff应力 S	Green应变的时间导数 Ė^G

来源：ABAQUS仿真世界

《Mechanics of Solid Polymers》4.9.3 角动量平衡

4.9.3 角动量平衡角动量平衡原理指出，作用在物体上的力矩等于角动量对时间的导数。这一原理可以通过对线动量方程中的力和线动量与位置矢量进行叉乘直接获得。因此，可以预期角动量平衡将提供与线动量平衡相似的结果。对于经历大变形的可变形物体，角动量平衡可以表述如下：【作用在物体上的表面力和体积力产生的力矩之和】=【物体角动量对时间导数】这可以写成当前构型下的平衡定律：该方程可以使用柯西应力定理(方程4.138)t = σn来简化，并转换为指标形式。从方程(4.16)，指标形式变为其中bfk是体力矢量bf的第k个分量。左边第一项可以通过应用散度定理来简化：右边的项可以通过变量替换x = χ(X)将积分从当前构型转换到参考构型来简化：将方程(4.180)和(4.179)代入方程(4.177)得到：该方程对Ωc的任意子域都必须成立，因此积分项必须恒等于零。此外，方括号内的表达式根据线动量平衡(方程4.172)也等于零。通过展开ϵijkσkj = 0的各项，我们得到等价条件：因此，如果满足线动量平衡且柯西应力张量对称，则角动量平衡自动得到满足。角动量平衡也可以用类似的推导在参考构型中表示。具体推导细节留作练习，最终的场方程为：其中P是第一Piola-Kirchhoff应力，F是变形梯度。来源：ABAQUS仿真世界