加权余量法简介
目录
1.加权余量法基本概念
2.配点法
3.最小二乘法
4.矩法
5.伽辽金法
加权余量法基本概念
加权余量法是一种偏微分方程近似求解方法，其核心思想是将试函数的误差在域内的加权积分为零。假设有如下方程
上面的 是在域内和边界都是严格精确满足的，这时我们找出一个满足边界条件的近似解
上面的近似实际上是将精确解的无限维空间投影到了n维有限空间，关于这部分的知识，比较偏数学，我个人也是一知半解，在此就不多说了，有兴趣可查阅相关专著。
将上面的近似解引入到域内以后，会产生一个误差
加权余量法的思想就是引入一个加权积分参数 ，是的近似解在整个域内的加权积分为零，即
其中， 为加权函数，取n个加权函数就能将n维空间近似解的所有系数求解出来。
依据上面的思想，加权余量法发展出很多种具体的求解方法，具体有：配点法、最小二乘法、矩法、伽辽金法，下面对这四种基于加权余量思想的偏微分方程近似求解方法进行简单的介绍。
配点法
配点法是加权余量法中的一种方法，其核心思想是在求解区域内选择一些特定的点（称为配点），并在这些点上强制使得微分方程的余量为零。具体来说，配点法的步骤如下：
选取近似解：首先假设一个包含未知系数的近似试探解，例如 ，其中 为待定系数， 为基函数。 求余量：将近似解代入微分方程得到余量 。如果试探解不是精确解，余量 在求解的区域不可能为零。 选择权函数：在配点法中，权函数通常选择为狄拉克 函数 ，其中 是求解区域内的配点。通过这种方式，可以在每个配点上强制余量为零。 求解待定系数：通过在每个配点上设置余量为零的条件，可以得到一组代数方程，解这组方程可以得到待定系数 。
配点法的优点是实现简单，计算量相对较小，适用于各种类型的微分方程。但是，配点法可能需要较多的配点以获得较好的近似解，且对于非线性问题，配点法可能不如其他方法（如最小二乘法或伽辽金法）稳定和精确。
最小二乘法
加权余量法中的最小二乘法是一种求解微分方程近似解的方法，其核心思想是最小化微分方程余量在整个定义域上的平方积分。这种方法特别适用于当微分方程的精确解难以获得时，通过最小化误差的平方和来寻找一个最佳的近似解。以下是最小二乘法的基本原理和步骤：
近似解的建立：首先，建立一个包含未知系数的近似解，通常这个近似解是由一组基函数线性组合而成的。例如， ，其中 是待定系数， 是基函数。 计算余量：将近似解代入微分方程，得到余量 ，即方程的残差。余量 表示了近似解与微分方程之间的偏差。 最小化误差：在最小二乘法中，权函数被选择为对余量所含的待求系数的导数，即 。这种方法的目标是最小化余量在整个定义域上的平方积分，即最小化 。 建立方程组：通过对余量 求导，并令导数等于零，可以得到一组代数方程，解这组方程可以得到待定系数 。 求解系数：解上述代数方程组，得到近似解中的未知系数，从而得到微分方程的近似解。
最小二乘法的优点在于它能够提供一个在某种意义上“最佳”的近似解，即使在近似解不能精确满足微分方程的所有点时。这种方法在处理复杂问题时特别有用，因为它不要求近似解在所有点上都精确满足微分方程，而只要求在整个定义域上最小化误差的平方和。这种方法在工程和科学计算中被广泛应用，特别是在有限元分析中。
矩法
加权余量法中的矩法是一种通过最小化微分方程余量的矩来求解近似解的方法。其核心思想是选择特定的权函数，使得余量的各阶次矩等于零。以下是矩法的基本原理和步骤：
近似解的建立：首先，建立一个包含未知系数的近似解，通常这个近似解是由一组基函数线性组合而成的。例如， ，其中 是待定系数， 是基函数。 计算余量：将近似解代入微分方程，得到余量 ，即方程的残差。余量 表示了近似解与微分方程之间的偏差。 选择权函数：在矩法中，权函数的选择与问题的维度有关。对于一维问题，权函数通常取 ；对于二维问题，则取 。这些权函数用于构建余量的矩。 最小化矩：通过设置余量的各阶次矩等于零来求解待定系数。具体来说，就是使得 ，其中 是余量方程， 是求解区域。 求解系数：通过上述条件，可以得到一组代数方程，解这组方程可以得到待定系数 ，从而得到微分方程的近似解。
矩法的优点在于其概念清晰、处理方法灵活，适用于各种类型的微分方程。然而，它可能需要较多的计算量，尤其是在高维问题中。矩法在电磁学等领域得到了广泛的应用。
矩法
伽辽金法（Galerkin Method）是加权余量法中的一种重要方法，它在数值分析中被广泛用于求解微分方程问题。以下是伽辽金法的基本原理和特点：
基本原理：伽辽金法通过将微分方程的精确解用一组基函数的线性组合来近似表示，即近似解 可以表示为 ，其中 是待定系数， 是基函数。这些基函数通常满足问题的边界条件。
弱形式：伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，通过积分将微分方程转化为积分方程。这种方法允许在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，将求解微分方程近似解的问题转化为求解一组线性代数方程。
加权积分：在伽辽金法中，要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程。这意味着对于每一个基函数 ，在计算区域上的加权积分为零，即
其中 是微分算子， 是已知函数。
自然边界条件：伽辽金法的一个显著特点是自然边界条件能够自动满足，这是因为基函数的选择使得边界条件在近似解中得到自然体现。
对称性：如果算子 是线性自伴随的，则采用伽辽金法得到的求解方程的系数矩阵是对称的。在高维问题中，这种对称性会大大减少计算量。
近似解的精度：近似函数所取的试探函数的项数越多，近似解的精度越高。当项数趋于无穷时，近似解将收敛于精确解。
伽辽金法因其在处理复杂边界条件和非线性问题时的有效性而被广泛应用于有限元分析和计算结构力学等领域。
