《Mechanics of Solid Polymers》4.4.3张量运算
4.4.3 张量运算 （二阶）张量比向量包含更多信息：它为每个值和方向分配一个值和方向，并因此可以被认为是从一个向量到另一个向量的映射。在指标形式中，二阶张量可以写为 A = Aij。 有不同的方法来解释二阶张量。例如，正如前面提到的，二阶张量可以被视为一个线性算子 A，作用在一个向量 u 上生成另一个向量 v = Au。在本文中，简单地将二阶张量视为一个 3 x 3 矩阵通常已经足够。当处理张量时，还有许多重要的操作。以下是最常见操作的定义：• 两个张量可以通过添加（或减去）它们的对应分量来进行相加（或相减）：一个张量可以作用于一个向量，通过以下乘法和求和生成另一个向量：• 两个张量可以通过以下的乘法和求和，得到一个新的张量：• 两个张量的内积（也称为点积）是一个标量，由• 张量A的转置由，对所有向量u，v定义。张量的转置也可以用指标表示法写为这还给出了以下有用的等式• 张量的迹是一个标量，由对角线上的项之和给出：• 张量的行列式可以像计算3×3矩阵的行列式一样计算：• 一个张量可以唯一地分解为体积变化和体积不变的部分：一个偏量张量的迹为零。这种分解在处理变形梯度时非常有用，如后续章节将讨论的那样。• 一个张量也可以分解为扭曲和膨胀部分的乘积：一个扭曲张量的行列式为零。这种变形梯度在处理变形梯度时非常有用，如后续章节将讨论的那样。• 一个正交张量Q是具有以下性质的张量：• 对角张量是具有零非对角项的张量： • 张量Au的分量可以通过单位向量e1和ej确定如下：• 计算张量的函数，例如exp(A)，通常很有用。计算这些函数的一种方法是将张量A写成其谱表示（参见第4.5.1节），然后在张量的主值上应用函数： 从以上讨论可以明显看出，直接符号法比指标符号法更简洁，通常更易理解。因此，接下来几乎完全采用直接符号法。来源：ABAQUS仿真世界
