一文说尽冲击动力学——有限长度杆在高速冲击下的大变形
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上篇分析了很多不同硬化属性的有限长度杆在撞击下的塑性变形和应力波的传播。但在分析中，默认杆的截面尺度不变，在杆不够细长且撞击速度很高的情况下，需要考虑由于撞击引起的杆的横截面积变化。
Taylor模型
在实验中，发现短杆以很高的速度撞击刚性壁，撞击产生的塑性变形将会使撞击端横截面面积变大，形成蘑菇头。
对此，我们假设：
撞击速度相当高，固体的弹性变形影响较小，忽略弹性变形和弹性波，将材料近似认为是理想的钢塑性材料；
杆是短醋杆，撞击过程不会发生杆的屈曲；
杆的横截面为圆形，可以简化成对称问题来分析。
此问题最早是Taylor于1948年开始研究的，其目的是为了解释柱形子弹或杆在高速撞击过程中，撞击端的蘑菇头形成的规律。
图：短粗圆柱杆撞击刚性墙。
根据材料的连续性条件，任意微小时刻，进入塑性区的材料和流出刚性区的材料质量相同，即：
对刚性区在水平方向运用运用动量定理可得：
其中：
塑性变形过程中，杆件微元的体积不变。基于此，可以将钢塑性分界面上的微元承受的轴向的工程应变，用该分界面上的面积突变表示：
将以上工程应变的表达式代入连续性条件，可以得到塑性区扩展速度的表达式：
将上式整理带入动量方程，可以得到每一个时刻刚性区的速度同钢塑性分界面上的塑性应变之间的关系式：
下面将推导塑性区长度和塑性应变的函数关系：
已变形的塑性区长度和未变形的塑性区长度随时间的变化率为：
对未变形的刚性段列出动量方程：
将塑性区扩展速度近似看成常数，动量方程简化为：
由上式可得：
将工程应变带入速度表达式，可得：
因此：
对之前所得到的刚性区速度对塑性应变作微分，可得：
因此，得到了刚性区长度和塑性应变关系的微分方程：
由上式积分可得：
Taylor模型的发展是在第二次世界大战，需要在武器攻击的速度范围内预测材料在高速撞击下的动态屈服应力。但是Taylor杆的变形是蘑菇状，而实验当中的变形偏于内凹。后来的研究者对Taylor杆做出了修改。
能量法求解Taylor杆问题
相比较于Taylor，Hawkyard提出了改进的表达式。主要变化有：
工程应变改为了对数应变
动量方程换成了能量方程。
注意：变形较大的时候，采用对数应变而不是工程应变是一个基于实验现象的合理修正。
塑性波前沿的能量耗散率为：
（非弹性介质存在能量耗散）
Taylor杆的能量损失速率为：
前一项是动能，第二项是考虑到刚性区缩短（杆尾部的位移），刚塑性区交界面上力所做的功。
由此可得：
参考资料：《冲击动力学》
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