屈曲是在承受压应力的薄结构中发生的突然的、无法控制的失效现象。为了使材料不能屈曲，压应力不必达到材料能够承受的极限压应力。这种失效现象可能发生在桥梁、建筑物和塔楼中的不同类型的结构构件中，例如柱、梁、桁架和薄壁结构。
FEA 在屈曲分析中的重要性
我们可以使用上一篇文章中讨论的欧拉公式来计算具有不同横截面的简单细长柱弯曲的压缩载荷的临界值。但依靠数学和分析方法来预测结构设计中的屈曲并不总是理想的，特别是当问题涉及复杂的几何形状、载荷、边界条件和非线性大变形时。因此，FEA 提供了强大的计算工具来分析屈曲行为，使工程师能够获得最佳设计，保证压缩载荷下的结构完整性。
我们可以使用 FEA 对结构执行两种类型的屈曲分析：线性特征值屈曲分析和非线性屈曲分析。这些分析中的每种类型都提供了对不同条件下结构的稳定性和行为的独特见解。线性分析是一个扰动步骤，用于确定机械结构的临界屈曲模态形状以及相应的载荷大小。我们只能在线性分析中提供材料的弹性行为。而在非线性分析中，结构可以包含几何和材料非线性。它通过考虑大变形、屈曲后行为和材料屈服来扩展有限元分析的功能。
在本文中，我们将通过一些示例问题了解如何执行线性屈曲分析。
线性特征值屈曲分析
此类分析用于确定结构的临界屈曲模态形状及其相应的临界压缩载荷。在此类分析中只能假设线性材料行为和小变形理论。由于这是线性分析，物理模型不能有任何子结构或接触定义。所有部件都必须使用拉杆或直接节点连接来连接，以形成一个单一的结构。最初将参考水平的载荷（最好是单位载荷）施加到结构上。
载荷可以是压力、集中力、位移、旋转或热载荷。还应用所有必要的边界条件，并执行线性扰动步骤。由于此分析中的一切都是线性的，因此不会出现收敛问题，并且计算时间也会非常短。因此，这可用于执行快速模型检查并确定可能导致稳定性问题的结构部分。
理论
进行线性静态分析，从所施加的载荷和边界条件中查找应力，以形成 KG 的几何刚度矩阵。特征值问题定义为，
(K- λ KG) ν = 0
其中，K 是对应于基态的刚度矩阵，λ 是特征值或参考载荷乘数，向量 ν 是对应于特征值的特征向量。使用 Lanczos 方法针对 λ 和 ν 求解该问题。
屈曲载荷与第一个特征值相关，该特征值由以下公式确定：
Pritic = λ1 偏好
当 λ1 < 1 时结构发生屈曲，当 λ1 > 1 时结构安全
局限性
由于线性屈曲分析只能解释线性材料行为，这在现实生活中并不总是理想的，因此结果并不总是可靠。因此，即使第一个特征值大于 1 (λ1 > 1)，也不一定意味着不会发生稳定性故障。我们应该始终使用进一步的检查来增加对结果的信心。
使用这种线性分析无法有效地对结构问题中的缺陷进行建模。这些缺陷将导致模型刚度严重下降，当将这些缺陷引入线性模型时，可能无法 正确表示刚度的下降。缺陷处的二阶弯曲和材料屈服将无法在缺陷处准确捕获，从而导致对临界载荷的过高估计。
示例问题
让我们对由 5 mm 厚的钢材制成的 C 型钢进行线性屈曲分析，顶部承受压缩载荷，并探讨结果。
这些有限元分析结果中的位移、应力和应变大小没有意义，它们仅代表结构的屈曲模态形状。比例因子表明第一个屈曲模式发生在 665,189 N 处。
约束条件的影响
在上一篇文章中，我们了解了柱端部不同的支撑条件如何影响拐点的位置，从而影响柱的有效长度和临界欧拉屈曲载荷。现在，让我们通过对承受单位压缩载荷的柱使用线性屈曲分析来进一步探讨这一点。
固定 - 固定 比例因子 = 4,119
固定 - 固定 比例因子 = 1,034
固定 – 固定 比例因子 = 2,155
固定 – 自由端比例因子 = 258
从上面可以看出，柱的约束越不牢固，临界特征值就越低。
总结
希望本文总结了线性屈曲分析的理论、应用和局限性。此类分析用于计算导致细长机械系统突然发生灾难性屈曲失效的临界压缩载荷的大小。这决定了结构的哪些部分可能存在稳定性问题，以便我们可以优化这些关键区域的设计。由于它在几何和材料上是线性的，因此结果并不完全可靠，只能有效地用于一对一的设计比较和快速故障检查。
