来源：力学酒吧（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。叠加原理和唯一性定理是弹性力学求解的两个基本原理，前者使复杂问题的问题简化为几个简单问题的叠加，唯一性定理则保证了使用逆解法或半逆解法求解时的唯一性。人们对于叠加原理的认识最早来源于对振动的叠加现象，并最终成为弹性理论的一般原理。利用叠加原理，可以方便的证明弹性力学解的唯一性定理。1742年，DanielBernoulli(1700-1782，丹尼尔·伯努利，就是发现流体力学中伯努利原理的伯努利）在研究两端夹紧的弹性振动带（备注：或者是弦）问题时声称，他可以同时听到两个不同振动模态的声音。他说：“两种声音同时存在，并且非常清晰…这也难怪，因为两个振荡并不相互增强或阻碍；的确，当振动带以某一模态振荡时，它对于另外一个模态总可以视为一条直线而不产生任何影响...在我们检查过的自由振动带中，我通常可以同时感知三到四个声音。”我们知道，当一条弦振动时，一阶模态没有节点（不算两端的夹紧约束），二阶模态有一个节点，三阶模态有两个节点，以此类推；这些模态可以用周期不同的正弦函数来表示，丹尼尔的观点就是任何一个弦的振动都是由这些基本的振动模态叠加而成。不过，1742年偏微分方程还没有被发现，丹尼尔的叠加只能算是他想象中的叠加，并没有进行数学上的严格证明。1749年，Jean-BaptisteleRondd'Alembert（达朗贝尔，1717-1783）推导了弦振动的微分方程，围绕弦振动微分方程的解，d'Alembert，LeonhardEuler（欧拉，1707-1783）和Joseph-LouisLagrange（拉格朗日，1736-1813）等人进行了深入的研究。Euler和Lagrange并不认可丹尼尔有关振动可由简单模态叠加的观点，Euler认为一条曲线可以由无数多个正弦函数组成是令人怀疑的，认为“无限看起来会毁坏构图的本质”（大科学家有时候也会想当然）。这一问题在科学家之间展开了持久的争论，直到1822年JosephFourier(1768-1830)发表TheAnalyticTheoryofheat（热的分析理论）完善了傅里叶级数，人们才逐渐接受了叠加原理。关于弹性板的叠加原理，德国著名物理学家和音乐家、声学之父ErnstFlorensFriedrichChladni（克拉尼，1753-1827）发表了EntdeckungenüberdieTheoriedesKlanges（声音理论中的发现），发明了一种用沙子展示弹性板的固有模态方法（1787年），为弹性板的叠加原理奠定了基础。克拉尼用琴弓去拉一块覆盖沙子的金属板，当板发生弯曲直至共振时，沙子在振动作用下向表面静止的节点线集中，并最终勾勒出节点线。这些线条形成的图案就是现在所说的克拉尼图形。惠斯通(CharlesWheatstone,1802-1875)在1833年发表的OntheFiguresobtainedbystrewingsandonvibratingsurfaces,commonlycalledacousticfigures（声音的图像，用沙子来展示振动表面的图形）中将弹性理论中的叠加原理归功于韦伯兄弟，威廉·韦伯(WilhelmEduardWeber,1804-1891)，以研究电磁学而著名，哥哥恩斯特·海因里希·韦伯(ErnstHeinrichWeber,1795-1878)，德国著名物理学家和生理学家，并于1825年带领弟弟在莱比锡出版了《Wellenlehre,aufExperimentegegründet》（基于实验的波的理论）一书（生理学家的哥哥带着电磁学家的弟弟研究弹性振动理论，给出了叠加原理！？），在这本书中提出了弹性板振动的叠加原理。叠加原理一般被描述为：对于线性系统，由两个或更多载荷产生的变形，可以先求出单独加载下变形的总和，同时一个满足叠加原理的系统也被称为线性系统。在数学上线性被定义为同时满足加法原理和乘法原理，即，设有函数F(x)，如果该函数为线性函数，则充要条件为在线弹性理论中，平衡方程、几何方程、物理方程均为线性方程，同样也满足加法原理和乘法原理，即满足叠加原理。弹性力学中叠加原理被描述为：对于同一个弹性体，分别受到两组（或多组）不同的体力、面力和已知位移的作用，当弹性体在这些载荷和已知位移同时作用下，其应力、应变和位移解为每组载荷和已知位移分别作用所得的两组（或多组）解之和。设需要注意的是，弹性力学问题的线性特性不仅包括基本方程的线性性质，同时也包括边界条件的线性性质。在线性基本方程和线性边界条件下，可以将一个复杂的问题分解为若干简单的问题来求解。这也是一个考虑体力的弹性力学问题可以分成无体力的齐次方程和有体力的特解问题的原因，从这个意义上讲，叠加原理也可以被认为是“分解原理”。弹性力学的半逆解法和逆解法，可能从不同的假设出发进行求解，一个问题是，这样从不同假设出发求出来的解是唯一的吗？基于叠加原理，1883年，GustavRobertKirchhoff（基尔霍夫,1824-1887)在VorlesungenubermathematischePhysikMathematicsPhysics（数学物理讲座）中给出了弹性力学解的唯一性定理。基尔霍夫采用了反证法来证明该定理。设有一弹性体受面力和体力fi的作用，σ'x···τ'xy···ε'x···γ'xy···u'x···是它的第一组解，σ''x···τ''xy···ε''x···γ''xy···u''x···是它的第二组解，它们都满足弹性力学基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）和边界条件，即：显然，若将σx=σ'-σ''x···τxy=τ'xy=τ'xy-τ''xy，视为一组新的解。它所对应的是无体力、无面力、边界无位移状态，这样的弹性体必将是一个理想的自由体。它所对应的应力状态必然是一个无应力状态，由无应力状态将导出应变、形变位移均为0，即这就证明了原来所设定的两组不同的解，完全相同。弹性力学解的唯一性定理为求解弹性力学问题所采用的各种方法（如逆解法和半逆解法）提供了理论依据。弹性力学问题求解一般比较困难，如果能找到一组解满足基本方程和边界条件，那么根据解的唯一性定理，这组解就是该问题的解。不过，虽然弹性力学的解是唯一的，但可以有不同的表达式，但这些不同表达式，最终应统一于相同的值。参考文献[1]S.P.Timoshenko.Theoryofelasticity.[2]徐芝纶.《弹性力学》（第5版）.高等教育出版社[3]http://www.bcamath.org/documentos_public/courses/1_Course2012Chapter1WavesHistoryApplications.pdf[4]IsaacTodhunter.AHistoryoftheTheoryofElasticityandoftheStrengthofMaterials.P410-411

焊接作为钢结构中的重要工艺，直接关系到工程质量的好坏、结构的安全。焊接过程中，由于高度集中的瞬时热输入，在焊接过程中和焊后将产生相当大的残余应力（焊接残余应力）和变形（焊接变形、焊接收缩、焊接翘曲）。焊接残余应力对构件的刚度、静强度、疲劳强度、应力腐蚀开裂等都有很大的影响，使使用寿命提前；焊接残余变形则严重影响了构件外形和装配精度。在对焊接质量要求越来越高的今天，通过传统试验手段来研究影响焊接残余应力的因素，不但耗时费力，而且成本巨大。而采用有限元模拟的方法，对焊接过程进行数值模拟，认清焊接残余应力与变形的大小和分布规律，这对控制和消除焊接残余应力及变形起到了关键性的作用，对工程实践有显著意义，同时大大节约经济成本，优化工艺方案，是未来研究焊接结构件变形问题的大趋势。有限元焊接残余应力研究与分析本案例中构件为T型接头焊件，采用手工焊接定位，机械焊接加工方式，共有4条焊道。以往生产中全凭焊接师傅工作经验，加工损耗大，不利于高效生产。将T型接头4条焊道的焊接方向排列组合，最终得出8种工艺方案。通过对这8种焊接工艺方案的数值模拟，得出焊接工艺对于残余热应力的影响，残余应力竖直方向和水平方向的变化规律如图：图2 残余应力在竖直方向变化规律（方案1—4）图3 残余应力在竖直方向变化规律（方案5—8）图4残余应力在水平方向变化规律分析结果：从仿真结果中可以看出，最大的残余热应力并非分布与焊缝中心，而是距离中心一定距离的过热区。分析其原因是由于该区域温度梯度大，而且未发生液态金属的再结晶，因此晶粒粗大，晶格畸变后产生的内应力较大，无法短时间内恢复。采用第3种焊接方案时能够获得更佳的残余应力，换言之，热变形将更小，焊件接头的强度和塑性也更优。为了进一步减少焊接变形，可以在方案3的基础上运用反变形焊接法，通过仿真分析发现，焊接变形能够降低10%以上。结论通过有限元分析，最终选择适合的焊接工艺，节约了成本和制造时间，让焊接工作有了理论依据。北京翔博科技致力于残余应力检测与变形控制，多年来与航空、航天、军工企业开展了广泛的焊接工艺仿真项目合作，构筑了基于CAE技术的多工艺连续仿真及工艺诊断能力，积累了丰富的仿真经验，不仅开发了焊接仿真软件——Semweld，同时也可提供焊接仿真服务。如有需求，欢迎联系我们。

来源：COINV东方所振动噪声测试（ID：coinv2016）递函数递函数是对一个系统通过其输入信号和输出信号，进行系统的频率响应分析，它反映了系统对信号的传递特性（幅频特性和相频特性），取决于系统的本身特性，与输入无关。表现形式有：幅频曲线和相频曲线（同时显示，也称为伯德图）；实频曲线和虚频曲线；奈奎斯特(Nykuist)圆；相干曲线及相干传函，可以判定测量的有效性。相干函数为了评价频响函数估计的精度,定义相干函数。相干函数总是小于1，说明系统中总存在外来的噪声或有其他不相关的输入，或系统存在非线性特性。变时基传递函数分析脉冲激励大型低频结构中存在的一对矛盾：激励信号：脉冲形式，需要较大的采样频率进行采样，保证脉冲信号准确；响应信号：低频振动，需要较低的采样频率，保证较好的频率分辨率。变时基传递函数的测量和计算：测量时：使用高频采集激励信号，使用低频采集响应信号；计算时：使用变时基细化传函计算方法。

本堂课隆重推出CRC！非常实用且常用的知识！为什么要有CRC呢？在数字通信系统中可靠与快速往往是矛盾的。如何合理地解决可靠与速度这一对矛盾呢？所以人们就发明了纠错码和检错码，各有各的应用场合！纠错码：在每一个发送的数据块中包含足够的冗余信息，以便接收方可以推断出被发送的数据中肯定有哪些内容。检错码：包含一些冗余信息，但是这些信息只能让接收方推断出发生了错误，但推断不出发生了哪个错误，然后接收方可以请求重传。再次强调：CRC的内容非常重要！CRC太常用了！第一堂实验课就来仿真CRC编码！这个架构一定要会画哦。这是CRC-12的架构。那么CRC-16的架构是什么样的呢？请同学们自行查找资料哦。只有知道它的架构，才能编出正确的程序！先学习它的原理吧。再来介绍一下什么是纠错码！FEC：ForwardErrorCorrection。前向纠错！！！一种数据编码技术，传输中检错由接收方进行验证，在FEC方式中，接收端不但能发现差错，而且能确定二进制码元发生错误的位置，从而加以纠正。FEC方式必须使用纠错码。发现错误无须通知发送方重发。这和ARQ方式有区别。在目前的数字通信系统中，前向纠错技术得到了广泛的应用。这一技术的产生和发展源于通信系统本身的需求，在工程实践中并不存在理想的数字信道，信号在各种媒体的传输过程中总会产生畸变和非等时时延，对数字信号来说就意味着产生误码和抖动，而抖动的最终效果也反映在系统的误码上。FEC编解码可以用硬件实现也可用软件实现，采用FEC技术可较好地改善误码性能。前向纠错是指信号在被传输之前预先对其进行按一定的格式处理，在接收端则按规定的算法进行解码以达到找出错码并纠错的目的。现代纠错码技术是由一些对通信系统感兴趣的数学家们和对数学有着深厚功底的工程师们在近五十多年中发展起来的。汉明距离的定义一定要知道！还要掌握！这可是《通信原理》中的重点知识！有可能考同学们哦！再回顾一下吧！那么能检错和纠错的码距是多少呢？有什么规律吗？提问：什么是编码增益？编码增益是指在数字通信系统中，用于提高信号传输质量或增强系统性能的一种技术。它通常应用于编码和调制过程中。在数字通信中，编码是将数字数据转换为数字信号的过程，而调制则是将数字信号转换为模拟信号或者模拟样式的数字信号，以便在信道中传输。编码增益涉及到在这些过程中对信号进行调整，以达到更好的性能。我的毕业设计题目中有关于这方面知识的仿真课题，不知道同学们是否感兴趣？2017年开始我的指导原则不再是学生选指导老师，而是我选学生，而且必须是努力学习的学生，想学习的学生。2018年呢？我会控制所带学生的数量。2023年，又开始指导学生做毕业设计了，第一要求是内容做实！本章完结！来源：通信工程师专辑